Stærðfræðikennslan, námsefnið og kennsluaðferðirnar: Skóli margbreytileikans í Torontó með stærðfræðigleraugum

Í febrúar, fyrr á þessu ári heimsótti Sigrún Lilja Jónasdóttir, kennari við Austurbæjarskóla, tvo framhaldsskóla í Torontó í Kanada, Western Technical-Commercial School (WTCS) og Central Toronto Academy School (CTA). Í þremur greinum sem Sigrún Lilja hefur skrifað fyrir Skólaþræði, segir hún frá heimsókn sinni. Í þeirri fyrstu, sjá hér, fjallaði hún um hvernig unnið er með nemendum með annað móðurmál en ensku eða frönsku. Í annarri greininni, sjá hér, fjallaði hún um skólana, stærðfræðikennara og vinnuaðstöðu þeirra og sú þriðja, sem hér birtist er um námsefni í stærðfræði, kennsluaðferðir og fleira.

Sigrún Lilja Jónasdóttir

 

Í WTCS skólanum og CTA skólanum er unnið með nemendur á fjölbreyttan hátt. Reynt er að koma til móts við þarfir nemanda eins og framast er unnt. Eins og áður hefur komið fram er kennslustundin í þessum tveimur framhaldsskólum sem ég heimsótti 75 mínútur nema á miðvikudögum þá eru þær 60 mínútur vegna funda sem haldnir eru í skólunum alla miðvikudaga á milli kl. 8.00–10.00. Einn fundur í mánuði er helgaður faggreinakennslunni í skólunum. Hér á eftir ætla ég að leyfa ykkur að kíkja inn í nokkrar kennslustundir með mér. Hvaða námsefni er notað og hvernig eru kennsluaðferðirnar? Í lok greinarinnar segi ég stuttlega frá félagslífinu og samskiptum við foreldra.

Kennslustundirnar í WTCS skólanum

Kennari í 9. bekk er að rifja upp eitt og annað varðandi flatarmál og ummál ýmissa forma. Hann lætur nemendur hafa verkefni sem er þrjár blaðsíður með myndum. Fyrst leiðir hann nemendur áfram og útskýrir algengustu reiknireglur fyrir flatarmál og dregur nemendurna vel inn í umræðuna. Hann spyr hvort þeir hafi lært regluna um flatarmál hrings o.s.frv. Nemendur nota flestir vasareikna í símunum sínum. Einn drengur þarf að nota fartölvu við vinnu sína. Nemendur vinna sjálfstætt seinni hluta tímans en eiga síðan að klára verkefnið heima. Nemendur sitja ýmist einir eða tveir saman. Kennari gengur á milli og aðstoðar. Nemendur eru duglegir að hjálpast að.

Kennari í 12. bekk byrjar á að fara yfir heimavinnu. Kennarinn notar lesvarpann og reiknar á blað með nemendum. Krakkarnir eru mjög áhugasamir enda um skemmtilega þrautalausn að ræða. Þeir eru að skoða Pascal þríhyrninginn út frá tiltekinni formúlu. Sumir nemendur eru með drykki inni í stofu og margir með síma uppi á borðum. Krakkarnir hafa greinilega eitthvað verið að vinna með hugmyndir Pascal áður og fá nú nýtt verkefni á þremur blöðum. Á einu eru tvær þrautalausnir, önnur er götumynd og eiga nemendur að lýsa á hve marga vegu þeir geta komist á milli ákveðinna gatnamóta með ákveðnum flutningum og hitt er um flutninga á taflborði. Á næsta blaði er lína sem segir: Hvað lærði ég í dag? Þar verða nemendur að skrá nokkrar setningar um það sem þeir voru að læra. Síðasta blaðið er svo heimavinna dagsins. Kennarinn fer í gegnum sum verkefnin á blaðinu með nemendum bæði á lesvarpa og töflu og dregur þá mikið inn í umræðuna með sér:  Hvaða tölur vantar? Notið Pascal aðferðina o.s.frv. Hann spyr skemmtilegra og áhugavekjandi spurninga. Nemendur komast langt með allt verkefnið, líka heimavinnublaðið, en eiga að klára verkefnið heima og fá svör með heim. Nemendur hjálpa hver öðrum.

Stærðfræðigangur í WTCS

Kennari í 10. bekk byrjar á að fara yfir heimavinnu, dæmi úr bókinni. Hann lætur suma nemendur segja frá því hvernig þeir unnu verkefnið. Viðfangsefni tímans er að kynna innsetningaraðferð við lausn jöfnuhneppis. Hann tekur nemendur með í umræðuna með því að spyrja: Hvort er betra að einangra x eða y? Skiptir það e.t.v. ekki máli? Einn nemandi setur snöggvast símann sinn í hleðslu. Kennarinn hvetur nemendur til að prófa hvort lausn þeirra sé rétt og tengir hana við punkt í hnitakerfinu. Hann setur svo fyrir nokkur dæmi úr námsbókinni. Hún heitir Nelson Principles of Mathematics 10. Bókinni fylgir heimasíða sem nemendur nota. Aðgangurinn er merktur inn í bækurnar s.s. „This is your access Code nelson 5567LQLZ og to www.mynelson.com.“ Nemendur fara á milli borða og hjálpast að.

Kennari í 9. bekk er að vinna með neikvæðar tölur og hefur sett upp á veggi stofunnar ýmsar bjargir um efnið. Hér fá nemendur verkefni sem þeir eiga að vinna saman í hópum. Kennarinn útskýrir verkefnið vel í byrjun. Nemendur þurfa að beita rökum og sýna fram á hvernig reglurnar virka. Hóparnir biðja um fleiri verkefni þegar þeir eru búnir. Bókin sem þessi hópur notar er McGraw – Hill Ryerson. Principles of Mathematics 9

Kennari í 10. bekk notar skjávarpa og fer í jöfnur og skurðpunkt. Við útskýringar sínar tengir kennarinn jöfnurnar við daglega lífið og ber saman kostnað við að taka leigubíl eða lest á flugvöllinn. Ræddar eru líka spurningar eins og: Er minni mengun að fara með lestinni? Hvað sparast margir leigubílar ef hraðlestin upp á flugvöll er full? Nemendur fá verkefnablað sem þeir eiga að vinna og líka heimavinnublað. Kennarinn segist munu fara lauslega yfir heimavinnu á morgun. Kennari útdeilir þessu næst námsbók til nemenda og þurfa þeir að merkja við að þeir hafi fengið bók sem þeir eiga svo á að skila inn í vor. Þurfa að borga 100 kanadíska dollara ef þeir skila henni ekki. Bókin heitir Nelson Principles of Mathematics 10. Krakkarnir hjálpast svolítið að á milli borða og reyna að vinna sem mest í tímanum.

Kennari í 11. bekk fer að æfa nemendur fyrir spurningakeppni með Quiz sem á að vera á morgun þar sem reynir á lausnir á annars stigs jöfnum. Hann sýnir hvernig finna má lausnirnar með þáttun og fer mikið í ferningsrætur og lausnir. Í stofunni er snjalltafla sem hann er að nota. Það verður smátruflun þegar kona kemur inn til að kynna valáfanga sem verður í boði á næstu önn. Kennarinn segist vera með Quiz svona átta sinnum yfir veturinn og segir að krökkunum líki þessi keppni vel. Nemendur eiga að æfa sig heima fyrir keppnina. Í stofunni sitja nemendur í tvöföldu U og þessi kennari notar ekki námsbók, bara verkefnablöð og Google Classroom.

Kennari í 12. bekk útskýrir stuttlega afleiður og reglur sem hægt sé að nota til að auðvelda vinnu með þær. Hann hefur greinilega verið búinn að fara í þetta efni áður. Síðan fara nemendur að vinna í bók sem heitir Nelson Calculus and Vectors 12 solutions sem er tekin saman af Chris Kirkpatrick. Hér er áhuginn mikill og nemendur vinna mjög vel saman í bókinni. Þeir eru að vinna með afleiður og reyna að komast í að byrja á heimaverkefninu. Heimaverkefnið er á tveimur blöðum. Lýsa á þremur reglum, reikna nokkur dæmi og segja frá því hvernig lausnir þeirra eru hugsaðar.

Nokkrar kennslustundir í CTA skólanum

Kennari í 9. bekk, þar sem nemendur stefna á háskólanám, sýnir mér tvö próf sem hann hefur látið nemendur taka til að kanna stöðu þeirra. Fyrra prófið var tekið í byrjun annar og sýnir stöðuna eftir 8. bekk og hitt er staðan eftir tveggja vikna kennslu í 9. bekk. Hann telur of mikinn þrýsting frá foreldrum ráða því að í þennan hóp séu settir nemendur sem ekki hafa nægilega góðan grunn. Það eru 27 nemendur í hópnum. Reglan er að allir símar séu niðri í tösku á meðan kennt er, en nemendur mega hlusta á tónlist þegar þeir vinna sjálfstætt ef þeir trufla ekki aðra. Hann er að byrja að kenna algebru út frá hlutföllum. Hann gerir þetta listilega vel, allir eru með og læra. Umfjöllunarefnið er einfaldasta útlit. Hann dregur nemendur vel inn í umræðuna með vönduðum spurningum um styttingu og styttingarmöguleika. Krakkarnir eru áberandi glaðir hjá þessum kennara. Hér er allt hlaðið af reynslu, bæði stofan og kennarinn. Hann segir að töfraorðið í jöfnum sé að skoða, horfa og hugsa hvert svarið gæti verið. Hann tengir mjög vel við efni í grunnskólanum sem nemendur hafa lært áður. Þegar nemendurnir eru svo til allir búnir að ná þessu segir hann að svona sé nú algebran, ekki flókið fyrirbæri. Einn nemandi hafði verið með smá kjánalæti. Kennarinn sagði honum að hlusta aðeins betur og finna hvernig þetta fari inn í heilann. Hann spyr nemandann nokkurra spurninga sem strákur getur svarað. Strákurinn verður mjög ánægður og virkur það sem eftir er af tímanum. Nemendur fá handskrifað verkefnablað með æfingu í hlutföllum og jöfnum. Kennari gengur á milli, nemendur sitja einir en hjálpast svolítið að. Kennarinnn brýtur svo upp og er þá búinn að setja jöfnudæmi á aðra krítartöfluna, tekur upp nemendur og lætur þá vinna lausnina þar.

Bjargir á veggjum í CTA

Kennari í 10. bekk er að kenna lausnir jafna með tveimur breytum. Aðalatriðið segir hann vera að lesa dæmið og hafa í huga þau atriði sem fram koma á verkefnablaðinu. Á verkefnablaðinu sem hann lætur nemendur hafa eru lesdæmi um  jöfnuhneppi. Kennari hvetur nemendur til að lesa dæmið vel, finna mismunandi tvo hluti sem þeir eiga að leita eftir, láta x tákna annan og y hinn, skrá tvær jöfnur sem sýna samband stærðanna og velja lausnaraðferð. Kennarinn vinnur vel með snjalltöfluna sem hann er með og tekur góð dæmi. Krakkarnir eru mjög duglegir að vera með. Þeir giska aldrei heldur nota rök. Næst er farið í gegnum dæmi á blaðinu sem nemendur fengu. Nemendur eiga að vinna næstu tvö dæmi sjálfstætt, svörin eru fyrir aftan hvert dæmi, en nemendur þurfa að rökstyðja lausn sína. Allir sitja við einstaklingsborð en krakkarnir fara svolítið á milli til að hjálpast að. Þegar nemendur hafa glímt við verkefnið nokkra stund vill kennarinn fara að fá umræður um hvernig á að leysa dæmin. Næst eiga nemendur að svara spurningum úr námsbók og þá þurfa þeir að fara í símana til að skoða þær. Allir eru að vinna og engin spenna í stofunni. Kennslubækur skólans eru rafrænar inni á Google Classroom.

Ég fylgist með kennara í 11. bekk (e. college). Í upphafi tímans fer einn strákur að skrifa á töfluna, önnur stúlka þurrkar út og fer líka að skrifa á töfluna. Þau eru að skila heimavinnu sem gildir inn í einkunn. Nemendur þurfa að skila 15 heimaverkefnum af þessu tagi yfir önnina og þau gilda 50%. Það á að vera Quiz á föstudag. Tveir drengir fara út úr kennslustofunni því þeir eiga að búa til dæmi í Quiz. Kennarinn er að rifja upp línurit. Síðan útskýrir hann stuttlega jöfnu beinnar línu og línurit sem tengjast raunverulegum aðstæðum. Hann fer inn á netsíðu sem hann er með í tölvunni sem sýnir fjölgun í heiminum á hverri sekúndu. Hve margir fæðast á hverri sekúndu? Það eru 2,7 börn. Síðan lætur hann nemendur reikna hlutfall fjölmennustu landanna af mannfjölda heims og teikna það í skífurit. Nemendur eiga að klára verkefnið heima.

Nemendur fylla út  aðgangskort í byrjun tímans og skila til kennara

Ég fylgist með kennara í 11. bekk (e. academy). Krakkarnir byrja á að vinna aðgangskort (e. entrance card). Á þeim eru lítil verkefni sem nemendur vinna í byrjun tímans og skila til kennara þegar þeir eru búnir. Úrlausnir verkefnanna gilda inn í lokaeinkunn. Þarna eru nemendur að finna lausn á annars stigs jöfnu. Síðan fá þeir verkefni sem vinna á í tímanum að hluta. Þarna eru almenn brot með óþekktum stærðum, margföldun og deiling. Kennarinn byrjar á að þátta á krítartöflu og sýna hvernig hægt er að stytta brotin. Síðan kallar kennarinn verkefnið sem nemendur fengu fram á snjalltöflu. Hann segir krökkunum að þeir fái sama Quiz og hinir bekkirnir í vikulokin. Hann fyllir út verkefnið á töflunni, gerir villu, en einn nemandinn tekur strax eftir því og þá fylgja góðar umræður í kjölfarið. Á blaðinu eru þrepin sem nemendum er ráðlagt að vinna eftir. Hér vinna allir í hópum nema tveir vinna einir. Nemendur eiga svo að leysa næstu tvö dæmi sjálfir. Kennari gengur á milli og nemendur hjálpast að. Kennari fer að skrá lausnir hinna dæmanna inn á snjalltöfluna. Þetta er duglegur hópur og allir að vinna. Kennari keppist við að klára verkefnið, merkir, og flytur það svo inn í Google Classroom. Hann segir nemendum að þeir verði að skilja nógu vel þannig að þeir geti notað kunnáttuna seinna.

Ég tek eftir því að kennararnir nota margar kennsluaðferðir í sömu kennslustund. Þeir breyta um aðferðir nokkuð oft, en leiða kennsluna og umræðurnar áfram með því að búa til nokkurs konar tilgátuandrúmsloft með nemendum í anda Mason (Mason og Wilder, 2004). Þeir nota hvetjandi spurningar, nemendur læra með spurningum og ná fram námi með því að: segja frá – ræða – hlusta. Í leiðinni kemur tengingin við fyrra nám. Þrautalausnir eru líka mikið notaðar og þá hjálpast nemendur að. Kennararnir segja mér að samvinnunám hafi farið vaxandi undanfarin ár en það séu frekar yngri kennararnir sem nota það markvisst. Einnig eru kennarar að nota leiðsagnarnám því þeir tala mjög mikið við einstaka nemendur þegar þeir eru á gangi í bekknum og gefa þeim góða endurgjöf. Það virðist mikið um það að kennarar séu með heimatilbúin verkefni fyrir kennslustundina, ásamt heimanámi. Þó voru nokkrir að nota kennslubækurnar líka. Nemendur þurfa að skila heimavinnu í stærðfræði. Quiz er notað í báðum skólunum og líka rúmfræðiforrit, þó ekki GeoGebra.

Einkunnir eru ekki gefnar í bókstöfum eða einni tölu, heldur í hlutfalli, t.d. 72/100. Prófabanki fylgir námsbókunum og kennari sýndi mér hvernig hann gat valið þung eða létt dæmi í þessum flokki og búið til próf á nokkrum mínútum til útprentunar. Samræmd lokapróf eru send í skólana ásamt mörgum litlum prófum til að kanna stöðu nemenda.

Nokkur orð um félagslífið

Félagslífið í skólunum er öflugt, virkt nemendalýðræði og stefnan er að hver nemandi geti fundið sér þar eitthvert áhugamál við hæfi. Margir klúbbar þeirra eru þess eðlis að ELL nemendur geta tekið þátt í þeim, t.d. leiklistarklúbbar og klúbbar sem leggja áherslu á að kynna nemendur fyrir öðrum sem tala sama tungumál. Í WTCS skólanum eru 38 nemendaklúbbar og tímasetningar starfs þeirra eru ljósar strax í upphafi skólaárs. Sumir þeirra eru árstíðabundnir, til dæmis við ákveðnar íþróttir, aðrir byggjast á  samvinnu eins og árbókargerð, fréttaklúbbar og menningarklúbbar af mörgum gerðum (Western Technical-Commercial School, Program Book 2018– 2019). Í skólabók CTA skólans eru líka taldir upp 36 klúbbar en sagt að þeir séu jafnvel fleiri (Central Toronto Academy, Program Book 2018–2019). Sumir nemendur vildu halda því fram að það skipti máli hvaða kennari stjórnaði með þeim í klúbbnum, það hefði mikla þýðingu fyrir vinsældir hans.

Klúbbastarf

Skólarnir leggja áherslu á að vera í góðu samstarfi við foreldra. Samskipti við þá eru jákvæð og þeir alltaf boðnir velkomnir í skólana. Það eru ákveðnir foreldradagar í skólunum þar sem foreldrum gefst tækifæri til að koma með nemendum og ræða við kennara. Oft eru þeir hafðir á fimmtudegi og svo gefið frí í skólunum daginn eftir. Þá eru flestar búðir og fleiri þjónustustaðir einnig lokaðir og foreldrum gefið færi á að gera eitthvað með sínum börnum og nærsamfélagið tekur tillit til þess. Kennarar reyna að koma foreldrum í samband við aðra foreldra sem tala sama tungumál. Skólinn er með kynningu á skólastarfinu fyrir foreldra í ákveðnum árgöngum. Bréf og aðrar tilkynningar frá skólunum eru þýdd yfir á algengustu tungumálin. Á heimasíðu Skólaskrifstofu Torontó-héraðs er auglýst eftir sjálfboðaliðum úr hópi foreldra eða annarra í skólasamfélaginu til að aðstoða við ýmis verkefni í skólunum. Margir foreldrar koma inn í ýmis konar sjálfboðavinnu fyrir skólana, hjálpa til við að koma nemendum í starfsnám, vinna við kökubakstur og fleira þegar safnað er fyrir ákveðnum ferðum eða fyrir hjálparsamtök.

Dyrnar á kennslustofum í skólunum eru svo til alltaf opnar. Kennarinn ræður sjálfur hvernig hann meðhöndlar símanotkun og hvort hann leyfir nemendum að hafa nesti meðferðis í kennslustund. Í þessum skólum er, eins og áður hefur komið fram, öflugt klúbbastarf og þar kynnast kennararnir nemendum oft á tíðum á öðrum vettvangi. Áhersla er á hugulsemi gagnvart hverjum nemenda og samræður um námið. Ávextir og kex er í boði handa nemendum fyrir utan skrifstofuna í CTA skólanum. Mikil áhersla er lögð á kynningar á því námi sem er í boði á næsta skólastigi og upplýsingar um námsmöguleika víða að finna á veggjum.

Eftir þessa ferð mína í kanadískt skólakerfi verð ég að segja að margar spurningar vakna um skólakerfið hér hjá okkur á Íslandi. Væri ef til vill æskilegra að grunn- og framhaldsskólar væru undir sömu stjórn? Þurfum við ekki að auka valmöguleika nemenda í 9. og 10. bekk svo nemendur geti betur notið sín í skóla margbreytileikans? Væri ekki æskilegra að hafa meira klúbbastarf í unglingadeildum í stað þess að bjóða nemendum einungis upp á samveru í félagsmiðstöðvum?

Efni greinarinnar er að miklu leyti byggt á samræðum mínum við þá 10 stærðfræðikennara þessara tveggja skóla sem leyfðu mér að vera með sér í kennslustundum og frímínútum þennan febrúarmánuð 2019. Hafi þeir ásamt skólastjórum skólanna þökk fyrir frábærar móttökur. Einnig vil ég þakka Dagnýju Marinósdóttur og Guðbjörgu Pálsdóttur fyrir aðstoð og góðar ábendingar.

Heimildir

Central Toronto Academy, Program Book 2018–2019.

Mason, J. og Johnson-Wilder, S. (2004). Designing and using mathematical tasks (2. útgáfa). Milton Keynes: Open University.

Western Technical-Commercial School, Program Book 2018–2019.


Sigrún Lilja Jónasdóttir er stærðfræðikennari við Austurbæjarskóla þar sem hún hefur kennt í 33 ár. Meðfram kennslu sinni í Austurbæjarskóla hafði Sigrún Lilja lengi umsjón með samræmdum prófum í stærðfræði hjá Námsmatsstofnum sem þá var. Sigrún Lilja er ein af stofnendum Hollvinafélags Austurbæjarskóla sem meðal annars hefur komið upp skólamunastofu í risi skólans.


Sigrún Lilja Jónasdóttir. (2019, júní). Stærðfræðikennslan, námsefnið og kennsluaðferðirnar: Skóli margbreytileikans í Torontó með stærðfræðigleraugum. Skólaþræðir – Tímarit Samtaka áhugafólks um skólaþróun. Sótt á http://skolathraedir.is/2019/06/26/staerdfraedikennslan-namsefnid-og-kennsluadferdirnar-skoli-margbreytileikans-i-toronto-med-staerdfraedigleraugum/ 


 




Stærðfræði með ungum börnum – Nálgun og leiðir í Krikaskóla

Kristjana Steinþórsdóttir


Í þessari grein er sagt frá stærðfræðikennslu í Krikaskóla og þá sérstaklega þeirri nálgun sem notuð er til að byggja upp talna- og aðgerðaskilning barna.

Stærðfræðikennsla í Krikaskóla byggir á hugmyndafræðinni Stærðfræðikennsla byggð á skilningi barna (SKSB) eða Cognitively Guided Instruction (CGI) þegar unnið er með talna- og aðgerðaskilning. SKSB fellur undir ramma hugsmíðahyggjunnar. Dr. Ólöf Björg Steinþórsdóttir sem starfar við Háskóla Norður-Iowa er í samstarfi við Krikaskóla og hefur stýrt fræðslu til kennara og starfsmanna skólans ásamt verkefnastjóra í stærðfræði í Krikaskóla, Kristjönu Steinþórsdóttur. Samstarfið hófst skólaárið 2009-10 og hefur staðið síðan.

Stærðfræðikennslan er byggð á hugsmíðahyggjunni (constructivism). Hugsmíðahyggjan leggur áherslu á að nám er uppgötvun og sköpun. Verkefnin sem börnin vinna með eru opin og áherslan er á að vinna með tengsl sem byggja upp skilning og þekkingu. Stærðfræðiverkefnin eru markvisst valin til að byggja á þeirri þekkingu sem börnin búa þegar yfir á stærðfræði. Hlutverk kennarans felst í að skapa námsaðstæður fyrir börnin með markvissu verkefnavali og örvandi námsumhverfi. Kennarinn er sérfræðingur í að skilja hugsun barnanna, hann hlustar á þau og notar þekkinguna til að skapa aðstæður sem stuðla að auknum skilningi og áframhaldandi námi. Segja má að hann aðstoði börnin við að koma skipulagi á hugsun sína og skilning.

Stærðfræðinám sem byggir á hugsmíðahyggjunni er nám sem

  • hvetur til hugsmíða
  • hvetur til rökstuðnings
  • byggir upp ólíka nálgun og leiðir til lausna
  • hvetur til umræðna og skoðanaskipta

Almenn markmið stærðfræðinnar eru að

  • börnin læri að takast á við stærðfræðileg viðfangsefni og finna lausnir á þeim
  • börn geti fylgt einfaldri röksemdafærslu
  • börn geti gagnrýnt eigin röksemdafærslu og annarra
  • börn öðlist hæfni í stærðfræðilegri orðræðu
  • auka hugtakanotkun barna
  • börn vinni með öðrum nemendum og nýti stærðfræðileg hugtök til að útskýra hugsun sína
  • draga fram þá óformlegu þekkingu sem börn búa yfir og nýta hana við áður óþekktar aðstæður
  • öðlast jákvæð viðhorf til stærðfræðinnar

Stærðfræðikennsla byggð á skilningi barna setur ramma um þyngdarstig þrauta sem fjalla um aðgerðirnar fjórar, hvernig skilningur barna þróast og hvernig lausnarleiðir barna spegla skilning þeirra. Rannsóknir í tengslum við SKSB hafa sýnt þrjú þroskastig í lausnaleiðum barna á þrautum tengdum samlagningu, frádrætti, margföldun og deilingu. Þessi þroskastig eru:

1) Hlutbundið líkan

  1. Barnið byggir líkan sem fylgir atburðarás verkefnisins. Helsta einkenni þessa stigs er að allar stærðir í þrautinni eru sjáanlegar og nemandinn fylgir atburðarás þrautarinnar. Annað einkenni á þessu stigi er að nemendur hugsa eitt skref í einu og geta ekki ályktað um hvaða áhrif fyrsta skref þeirra í lausnaleiðinni hefur á heildarlausnina.
  2. Flest 4, 5 og 6 ára börn eru á þessi stigi og einnig mörg 7 ára börn
  3. Skoðum þrautina “Nína á 3 bíla. Unnur vinkona hennar gaf henni 5 bíla. Hvað á Nína marga bíla alls? Nemandinn telur 1, 2, 3 kubba til að sýna 3 bíla. Síðan tekur hann 1, 2, 3, 4, 5 kubba til að sýna 5 bíla. Barnið setur alla kubbana saman og telur allt saman 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og segir að Nína eigi 8 bíla.

2) Talning

  1. Barnið notar talningu til að finna lausnir. Helsta einkenni þessa þroskastigs er að barnið getur nú geymt eina stærð í huganum. Það leysir þrautina með því að telja áfram frá upphaflegri stærð eða telja niður frá stærðinni.
  2. Hvernig barnið telur fer eftir þrautinni sem það er að leysa.
  3. Skoðum þrautina “Nína á 3 bíla. Unnur vinkona hennar gaf henni 5 bíla. Hvað á Nína marga bíla alls? Barnið segir 3 bílar og hugsar töluna og telur áfram 4, 5 6, 7, 8 og segir 8 bílar. Barnið lyftir oft fingri fyrir hverja talningu til að vita hvenær það hefur talið 5 til viðbótar.

3) Talnastaðreyndir

  1. Barnið nýtir sér þær talnastaðreyndir sem það þekkir eins og 5+5 er 10. Helsta einkenni þessa þroskastigs er að barnið getur nýtt sér talnasambönd. Skilningur þess á stærð hefur þroskast og það getur hugsað um stærð á mismunandi hátt. Á þessu stigi er barnið farið að skilja hvernig nýta má víxlreglu og tengireglu í samlagningu.
  2. Þegar tölur í þrautum stækka þá nýtir barnið sér reiknirit til að finna lausnir á þrautum á þessu stigi.
  3. Skoðum þrautina “Nína á 3 bíla. Unnur vinkona hennar gaf henni 5 bíla. Hvað á Nína marga bíla alls? Barnið segir “ég veit að það eru 8, af því að ég veit að 3 og 3 eru 6 og 5 er 2 meira en 3 svo 6 og 2 er 8, Nína á 8 bíla”. Barnið nýtir sér talnaþekkingu sína, það er að 5=3+2 og að 3+3=6. Ef við skoðum þetta enn nánar þá má sjá hvernig barnið notar tengireglu samlagningar 3+5=3+(3+2)=(3+3)+2=6+2=8.

Helstu markmið stærðfræðinnar, tölur og aðgerðir með náttúrlegum tölum eru að börn

  • sýni skilning á náttúrlegum tölum
  • geti lesið og skrifað tölur
  • öðlist skilning á sambandi magns og talna
  • geti raðað saman náttúrulegum tölum og borið saman
  • kunni aðferð til að telja fjölda hluta í safni
  • sýni skiling á tugakerfinu sem sætiskerfi
  • geti notað fjölbreyttar aðferðir við samlagningu og frádrátt náttúrulegra talna
  • geti notað fjölbreyttar aðferðir við margföldun og deilingu náttúrulegra talna
  • sýni skilning á tölum og stærðum þannig að þau geti lagt mat á útkomu aðgerðar
  • börn sýni skilning á að samlagning og frádráttur eru andhverfar aðgerðir
  • börn sýni skilning á að margföldun og deiling eru andhverfar aðgerðir
  • börn sýni leikni í hugareikningi

Í Krikaskóla er unnið með talna- og aðgerðaskilning með tveggja til fimm ára börnum. Þá er fyrst og fremst unnið óformlega með talnahugtök og stærðir til að byggja grunn sem nýtist þeim þegar sá tími kemur að þau takist á við formlegri verkefni.

Með yngstu börnunum er stærðfræðin unnin í gegnum sögulestur, söngva, talningu og í ýmsum leikjum. Leikirnir og verkefnin verða flóknari eftir því sem börnin eldast og þroskast.

Vinna með þriggja og fjögurra ára börnum byggist mikið upp á að telja í hópa, vinna með einkvæma svörun og nákvæmni í talnarunum. Námið felst í ýmsum leikjum úti sem inni og í spilum. Samhliða auknum skilningi barnanna verða leikir og spil flóknari til að örva hugsun og leikni.

Talning á þremur

Tvö hús, tvö tré, tveir krakkar

Mikilvægur þáttur í talningu er að telja saman fjölda í hóp (einkvæm svörun).

Talið er með mismunandi hætti. Nemendur þjálfast í að útskýra hvernig og af hverju form eru eins eða öðruvísi. Börnin eru þjálfuð í að hugsa á ýmsan hátt um form.

Í fimm ára deildinni eru viðfangsefnin flóknari. Auk þess sem unnið er áfram með það sem börnin hafa þegar lært er augunum beint að skilningi á aðgerðunum samlagningu, frádrætti, margföldun og deilingu ásamt þrautum. Þrautirnar auka almennan talnaskilning barna. Verkefnin er opin og börnin kljást við þrautalausnir þar sem þau eru oft að nýta þá þekkingu sem þau búa yfir við nýjar óþekktar aðstæður. Áhersla er lögð á að börn fái tækifæri til að tjá lausnaleiðir sínar og bera saman við aðrar. Við tjáninguna öðlast þau dýpri skilning á tölum og aðgerðum og þeim hugtökum sem unnið er með. Með tjáningunni er einnig verið að endurraða þekkingunni til að mynda dýpri og “stærri” þekkingarheild. Þau koma skipulagi á hugsun sína.

Tveir jólasveinar voru á leið til byggða, fyrst hittu þeir tvo tröllastráka síðan hittu þeir þrjá álfa. Allir ætluðu þeir að vera samferða til byggða. Hvað voru margir í hópnum?

Það er bæði krefjandi og skemmtilegt að spila og gefur börnum tækifæri til að æfa sig í verkefnum sem stuðla að þroska þeirra, bæði félagslegum og vitsmunalegum.

Sjö endur voru að synda á tjörninni. Þegar ég fór heim flugu fjórar endur í burtu. Hvað voru margar endur eftir á tjörninni?

Ein kýr er með 4 spena, hvað eru fimm kýr með marga spena?

Ég á fimm poka og það eru fimm kúlur í hverjum poka.
Hvað á ég þá margar kúlur?

Í útikennslu er börnunum boðið upp á skapandi umhverfi og fjölbreyttan efnivið ásamt því að börnin uppgötvi nýja möguleika og eigin lausnir.

Þrautirnar byggjum við upp á okkar reynsluheimi og setjum okkur sjálf sem persónur í sögunum. Við tölum um lausnaleiðirnar og útskýrum ólíkar leiðir hvert fyrir öðru. Allt þetta eflir þekkingu barnanna á tölum og aðgerðum, gefur þeim dýrmæta reynslu og er mikilvæg undirstaða fyrir stærðfræðinám í 1. bekk.

Hluti af sérstöðu Krikaskóla er samfella í leik og námi barna ásamt samkennslu árganga og því gerum við því góð skil á degi stærðfræðinnar. Börn á aldrinum fjögurra til níu ára blandast í hópa og vinna saman á stöðvum. Verkefnin eru fjölbreytt en byggjast á samvinnu þar sem eldri börn leiða hóp yngri barna.

Stærðfræði og íþróttir. Hvað er skemmtilegra?

Speglun.

Samvinna í vísindum.

Þróaðri byggingar krefjast nýrra lausnaleiða sem byggjast á fyrri reynslu og samvinnu barnanna.

Það er mat þeirra kennara sem að verkefninu koma að þetta sé afar skemmtilegt og gagnlegt nám þar sem börnin eru áhugasöm og skapandi. Sköpun og hugsmíð er eitt af aðalsmerkjum leikskólans og því ánægjulegt að fá að vinna með stærðfræði sem byggir á því.

Þeir sem áhuga hafa að kynna sér þá nálgun sem við í Krikaskóla vinnum eftir er velkomið að hafa samband við okkur.


Kristjana er leikskólakennari í Krikaskóla í Mosfellsbæ og hefur á liðnum árum leitt stærðfræðiverkefni með börnum á aldrinum tveggja til níu ára í skólanum. Kristjana hefur sótt ráðstefnur í Bandaríkjunum til að auka þekkingu sína og miðla reynslu um stærðfræði byggða á skilningi barna eða Cognitively Guided Instruction.




MÍÓ – skimun í stærðfræði fyrir leikskólabörn

 Erna Rós Ingvarsdóttir og Þóra Rósa Geirsdóttir

Haustið 2016 lögðu Leikskólinn Pálmholt á Akureyri og þýðendur norska skimunarefnisins MIO – Matematikken – Individet – Omgivelsene (upphafsstafir mynda orðið MIO) af stað í þróunarverkefni með stuðningi frá Miðstöð skólaþróunar við Háskólann á Akureyri. Þróunarverkefnið MÍÓ – skimun í stærðfræði fyrir börn, snerist um að þýða og staðla þetta norska skimunarefni. Efnið var fyrst gefið út í Noregi 2008 og var unnið í samstarfi Forum for matematikkmestring við Sørlandet Kompetansesenter og Senter for atferdsforsking við Háskólann í Stavanger. Efnið er handbók fyrir kennara og skráningarblöð sem fylgja börnunum frá fyrstu skráningu til loka hennar. Öll leyfi fyrir þýðingu, staðfærslu og notkun mynda voru fengin árið 2015 hjá útgefendum og teiknara. Þýðendur völdu nafnið MÍÓ Stærðfræðin – Einstaklingurinn – Aðstæðurnar  á íslensku útgáfuna. Nafnið MÍÓ hefur því skírskotun til frumefnisins en byggir ekki á hugmyndinni um að mynda nafnið með upphafsstöfum undirheitis eins og frumútgáfan gerir. Þýðendur efnisins eru Dóróþea Reimarsdóttir, Jóhanna Skaftadóttir og Þóra Rósa Geirsdóttir.

Markmið þróunarverkefnisins var tvíþætt. Í fyrsta lagi sá hluti sem sneri beint að leikskólanum, börnunum og kennurunum:

  1. Að efla þekkingu starfsmanna leikskólans á rökhugsun, talnaskilningi og rýmisvitund barna í þeim tilgangi að bæta námsaðstæður í leikskólanum á þessu sviði.
  2. Að skima nemendur með skráningarlista MÍÓ sem var í þýðingu og staðfæringu.

Í öðru lagi var markmið verkefnisins að staðfæra og þýða skimunartækið. Með þátttöku kennaranna var lagt upp með að tækið yrði aðlagað vel að íslenskum veruleika og mótaðar hugmyndir að góðri leið við skimun sem henta aðstæðum í íslenskum leikskólum.

Skimunarefni og fræðsla.

Skimunarefninu er ætlað að greina styrkleika og veikleika barna á sviði stærðfræðinnar, mæta þeim þar sem þau standa og finna þau börn sem þurfa frekari athygli og tækifæri til að vinna með þá þætti sem tengjast stærðfræðinámi þeirra.

Yfirlit yfir svið og þætti:

Fræðsla og ráðgjöf fyrir starfsfólk Pálmholts veturinn 2016-2017.

Menntun starfsfólks var hluti verkefnisins og haldnir voru nokkrir fræðslufundir. Þeir sneru í fyrsta lagi að stærðfræðinámi barnanna þar sem lögð var áhersla á stærðfræðina í öllu daglegu umhverfi og athöfnum. Unnið var með það umhverfi sem kennarar og börn hafa og lesið í það með gleraugum stærðfræðinnar. Farið var í að skoða hvaða námsgögn á leikskólanum unnt væri að nota til að fjalla um stærðfræðileg viðfangsefni og eins voru búnir til leikir og spil sem þroska stærðfræðilega hugsun. Í öðru lagi sneri menntunin að því að kynnast handbókinni með skimuninni, MÍÓ – Stærðfræðin – Einstaklingurinn – Aðstæðurnar. Ráðgjöf sem starfsfólk fékk sneri að þessum tveimur þáttum það er stærðfræðinni með börnunum og notkun skimunarefnisins.

Fræðslufundir tóku mið af því auka færni starfsfólks leikskólans í að skapa börnunum aðstæður til að:

  • Efla skilning sinn á rými, formum, stöðu og stefnu auk undirstöðuatriða varðandi magn, fjölda, röðun og hugtök fyrir mælingar, tíma og breytingar.
  • Þroska færni til að nota stærðfræði í rannsóknum sínum, bregðast við aðstæðum og prófa leiðir við eigin viðfangsefni og annarra.
  • Þroska færni sína við tjáningu og rannsóknir og við að nota stærðfræðihugtök.

Auk þess var viðfangsefni fræðslufunda og ráðgjafar:

  • Skimunarefnið, sem hafði verið lauslega þýtt, var kynnt fyrir kennurum leikskólans. Á fræðslufundum var farið yfir hvern kafla fyrir sig og rætt um mögulegar leiðir við skimun og skráningar. Markmiðið var að með útgáfu skimunartækisins fylgdu hugmyndir að góðri leið við skimun og notkun. Kennarar prófuðu og skráðu hjá sér athugasemdir og sammæltust í lokin um heppilega leið við skimun með MÍÓ
  • Tvisvar sinnum á skólaárinu kom ráðgjafi í heimsókn á hverja deild og ræddi við kennara um skimun og stærðfræði. Þar voru ræddar lausnir og leiðir og rætt um inntak og efni skimunartækisins.
  • Stýrihópur verkefnisins innan leikskólans og þýðendur hittust 4 sinnum á sérstökum fundum. Þar var farið yfir ábendingar kennara og ræddar hugmyndir um framkvæmd skimunarinnar. Við útgáfu efnisins verður tekið tillit til þeirra hugmynda sem fram komu. Með þessu fyrirkomulagi var markmiðið að gera skimunartækið sem allra best úr garði og fá inn sjónarhorn reyndra kennara.

Skimun barnanna

Leikskólakennarar sem unnu með börn á aldrinum tveggja og hálfs árs til fimm ára skimuðu þau með MÍÓ. Þeir kynntu sér vel allt efnið, æfðu sig og bentu á það sem þeim þótti að betur mætti fara.

Mat á verkefninu og ávinningur

Áætlaður afrakstur verkefnisins var:

  1. Aukin færni kennara og barna á námssviðum leikskólans sem snúa að stærðfræði, rökhugsun og talnaskilningi.
  2. Útgáfa MÍÓ Stærðfræðin – Einstaklingurinn – Aðstæðurnar sem skimunarefnis fyrir stærðfræði fyrir leikskóla.
  3. Greinargerð um skimunarefnið, staðfærslu þess og árangur leikskólans birt opinberlega.

Það var samdóma álit allra sem komu að verkefninu að vel hefðil til tekist. Sátt var um þá leið sem kennarar völdu við skimun barnanna. Í skimunarefninu er lögð mikil áhersla á að skima börnin í leik og starfi en ekki við tilbúnar aðstæður. Kennarar voru sammála því að sú leið var góð og vel fær. Valið var að skima börnin við ákveðinn aldur, það er í þeim mánuði sem þau eru tveggja og hálfsárs, þriggja og hálfsárs og fjögurra og hálfsárs. Alla jafna eiga þá börnin eftir eitt ár í leikskóla þegar skimun lýkur og verður þá hægt að byggja frekara nám á þessu sviði út frá stöðu nemenda. Útbúin voru góð skráningarblöð til að nota við skimunina og gerður listi yfir æskilega færni sex ára barna sem hægt er að vinna með síðasta árið til að bæta enn við færni þeirra og þekkingu sem þar eru stödd. Þá verður einnig á síðasta ári í leikskólanum tími til að hlúa vel að þeim sem ekki hafa náð tökum á þeim atriðum sem skimað er eftir.

Mat leikskólakennaranna á því hvernig til tókst

Við lok þróunarverkefnisins voru kennarar spurðir álits. Hér eru dæmi um þau sjónarmið sem fram komu:

Við fengum góða fræðslu um tilgang og mikilvægi þess að hafa stærðfræðina skipulega inni í leikskólastarfinu. Eftir fyrsta fyrirlesturinn urðum við á deildinni strax miklu meðvitaðri um það hvar stærðfræðina er að finna í daglegu starfi og fórum strax í að tileinka okkur að nota stærðfræðihugtök með börnunum.

Ávinningur barnanna er að mínu mati sá að þau verða meðvitaðri um tölur og form og nota það sjálf orðið meira í leik þegar þau hafa verið þátttakendur í þessu verkefni. Þau verða áhugasamari um stærðfræði og eru mjög opin fyrir nýjum verkefnum sem þau fá að vinna með. Einnig það að þegar búið er að finna að barn er ekki að ná því sem fram kemur á matslistanum er hægt að auka kennslu og þjálfun við það barn.

Eftir að hafa ígrundað efnið aðeins í upphafi sáum við hins vegar hversu mikla stærðfræði við vorum nú þegar að nota í daglegu starfi. Þó var ýmislegt sem bæta mátti við og hefur veturinn farið í að innleiða það. Til dæmis tileinkuðum okkur frekari notkun stærðfræðihugtaka með börnunum og gerðum tölur og form sýnilegri á deildinni. MIO verkefnið gerði það að verkum að starfmenn urðu meðvitaðri um að sjá og nýta tækifærin til stærðfræðikennslu í starfinu.Verkefnið hefur gert okkur meðvitaðri um stærfræði notkun á deildinni og nú langar okkur mikið að útbúa stærfræði verkefni til að nota markvist í starfi. Mió hefur gefið okkur góðan grunn varðandi hugmyndir að því hvernig við metum stærðfræði þekkingu barna og hvernig við getum ýtt undir hana. 

Við prófuðum börnin bæði í leik og við matarborðið og gæðastundum þegar þær gáfust.

Eftir að hafa hugsað efnið aðeins þá sjáum við að við erum að nota mikla stærðfræði í okkar daglegu starfi.

Við erum farin að hugsa meira markvisst um stærðfræðina núna og nota hugtökin meira meðvitað.

Allir kennarar á deildinni hafa fengið meiri áhuga á vinnu með stærðfræðina eftir að við fórum að vinna með MIO. Ég er alveg viss um að ég sem kennari geri meira úr umræðu um stærðfræðilegar pælingar vegna þess að við erum markvisst farin að vinna með MIO. Í frjálsa leiknum höfum við verið duglegar að koma auga á stærðfræði og notum þá tækifærið og notum ýmis stærðfræðihugtök, samanburðarhugtök og veltum betur fyrir okkur hlutunum. Við fylltum út MIO listann, það er mjög þægilegt að fylla út þann lista og hægt að gera það á ýmsum tímum í starfinu eftir því sem hentar hverju sinni.

Lokaorð

Það var því virkilega gleðilegt og góður bónus eftir vel unnin störf að verkefnið þótti takast það vel að Fræðsluráð Akureyrar veitti skólanum viðurkenningu í lok ágúst 2017. Það voru stoltir starfsmenn skólans sem tóku á móti viðurkenningunni í Hofi.

Þýðendur hafa gert lítilsháttar tilfærslur og breytingar á matsverkefnunum í samræmi við ábendingar frá leikskólakennurum í Pálmholti með það að markmiði að þau henti sem best íslenskum börnum. Skimunarefnið mun koma út nú í haust 2017 og verður aðgengilegt öllum leikskólum hjá þýðendum sem jafnframt eru útgefendur efnisins.


Erna Rós Ingvarsdóttir er leik- og grunnskólakennari með M.Ed. gráðu í menntunarfræðum með áherslu á stjórnun frá HA. Hún starfar nú sem skólastjóri í leikskólanum Pálmholti Akureyri og hefur gert síðan 2012. Erna Rós hefur starfað í leikskólum sem almennur kennari, sérkennari, aðstoðarskólastjóri og skólastjóri frá útskrift úr Fósturskóla Ísland árið 1992. Einnig hefur hún starfað í grunnskóla við sérkennslu.

Þóra Rósa Geirsdóttir er sérfræðingur við Miðstöð skólaþróunar við Háskólann á Akureyri. Hún hefur lokið M.Ed gráðu í sérkennslu frá Háskóla Íslands með áherslu á stærðfræðikennslu ungra barna. Hún hefur starfað sem kennari, sérkennnari  og skólastjóri í grunnskólum og kennsluráðgjafi fyrir leik- og grunnskóla.