Hvatt til hugsunar í stærðfræði

Ingólfur Gíslason og Bjarnheiður Kristinsdóttir

 

Ein einfaldasta kenningin um stærðfræðinám gæti hljóðað svo: Stærðfræðinám getur einungis átt sér stað ef nemandinn þarf að hugsa. Þess vegna hef ég litið þannig á að mitt hlutverk sem stærðfræðikennara sé að fá nemendur til að hugsa. Það tekst ekki alltaf. Jafnvel þó að nemendur séu með augun á töflunni eða námsbókum þá er ekki víst að þau séu að hugsa um stærðfræði eða á stærðfræðilegan hátt. Því miður venjast margir nemendur á að þeirra hlutverk sé alls ekki að hugsa. Þeir telja til dæmis frekar að sitt hlutverk sé:

  • Að skrifa niður það sem kennarinn segir eða skrifar
  • Að herma eftir einhverjum reikniaðferðum sem kennarinn setur fram
  • Að bíða eftir því að kennarinn segi nákvæmlega „hvað á að gera“
  • Að þóknast kennaranum

Okkur segir reyndar svo hugur um að þetta eigi allt við um fleiri námsgreinar en stærðfræði, enda hafa ýmsir fræðimenn haldið því fram að lærdómur sé fyrst og fremst einhvers konar spor sem hugsun skilur eftir sig. Í þessum pistli verður sagt frá hugmyndum kanadíska stærðfræðimenntafræðingsins Peter Liljedahl um það hvernig skipuleggja megi stærðfræðikennslu sem best til þess að knýja á um hugsun nemenda. Hann kallar skólastofu þar sem hugsun er í fyrirrúmi „hugsandi skólastofu“.

Peter byggir á sígildum rannsóknum og kenningum í  stærðfræðimenntun um stærðfræðilega hugsun en hefur (í félagi við aðra rannsakendur) reynt að fikra sig áfram með heppilegar útfærslur. Markmiðið er að finna „praktískar“ leiðir til gera skólastofuna að stað þar sem nemendur og kennarar hugsa –  bæði sjálfstætt og saman – í samræðu og virkri glímu við verkefni. Í hugsandi skólastofu ríkir vitund um að þar er gert ráð fyrir og búist við því að nemendur hugsi. Hér fara á eftir þau ráð sem Peter setur fram í ljósi sinna rannsókna þar sem hann hefur mælt hluti eins og þann tíma sem það tekur nemendur að byrja að vinna saman og hve áköf þau eru í vinnunni og hve mikla seiglu þau sýna:

  1. Verðug verkefni: þrautir en ekki „handavinnuæfingar“. Mikilvægt er að verkefnin séu grípandi og fái nemendur til þess að vilja tala saman þegar þeir leysa þau. Hægt er að byrja á þrautum sem ekki tengjast námsefninu beinlínis en í framhaldinu, eftir að nemendur hafa vanist skipulaginu, ætti að vera hægt að nýta og setja hið eiginlega námsefni fram á svipaðan hátt.
  2. Kennarinn kynnir verkefnin munnlega. Ef skýringamyndir eða töluleg gögn eru nauðsynleg má hafa þau sýnileg en sjálft verkefnið ætti að gefa munnlega og í sem fæstum orðum. Þetta fær hópana til þess að ræða um hvað sé verið að spyrja, frekar en að þeir sökkvi sér í að lesa texta á blaði.
  3. Skipta nemendum í litla hópa (2 eða 3 nemendur í hópi) með sýnilega tilviljanakenndum hætti. Ekki skal láta hópaskiptinguna halda sér lengur en viðkomandi kennslustund og best er að hefja hvern einasta stærðfræðitíma með því velja hópana sem vinna saman í þeim tíma. Lykilatriði er að valið sé handahófskennt og að nemendur sjái að það sé þannig. Í rannsókn Peters kom í ljós að með því að velja handahófskennt í hópa í hverjum tíma jókst raunveruleg samvinna nemenda til muna, bæði innan hópa og milli hópa, og nemendur spurðu frekar hver annan heldur en að bíða eftir kennaranum. Þetta er þó skipulag sem tekur tíma að byggja upp og það getur tekið sex til átta vikur fyrir nemendur að venjast því.
  4. Nemendur hafa aðgang að lóðréttum flötum sem hægt er að stroka út af. Hægt er að nota tússtöflur, glerrúður eða plastdúka sem loða við veggi. Þannig verður vinnan sýnileg, ekki bara fyrir nemendurna sem vinna saman heldur líka fyrir kennara og aðra nemendur. Til að hvetja til samræðna er rétt að hver hópur hafi bara einn penna eða eina krít. Mælingar hafa leitt í ljós að nemendur eru mun viljugri að skrifa á töflu sem auðvelt er að stroka út af heldur en á pappír. Tíminn þar til þau skrifa eða teikna eitthvað verður styttri en ella. Það að standa frekar en að sitja virðist líka stuðla að virkni nemenda.

Myndin er fengin af heimasíðu Peter Liljedahl.

  1. Sviðsljósið kvatt. Kennarinn stendur ekki upp við töflu heldur hreyfir sig í rýminu og ávarpar bekkinn úr mismunandi áttum. Helst ætti að vera hægt að nota allar hliðar og horn kennslustofunnar. Til þess að auðvelt sé að ganga á milli nemendahópa og komast að veggjum kennslustofunnar er best að raða húsgögnum upp á nýtt, til dæmis í þriggja borða eyjur.
  2. Eingöngu svara spurningum sem leiða til áframhaldandi hugsunar (gefa vísbendingar). Venja þarf nemendur af því að spyrja spurninga á borð við „Er þetta rétt?“ og hvetja þá til að spyrja oftar aðra nemendur í stað þess að bíða eftir kennaranum. Kennarinn ætti auðvitað að hlusta á allar spurningar, en aðeins að svara spurningum sem svara þarf (gefa vísbendingar) til þess að nemendur geti haldið áfram að hugsa.
  3. Flæði. Kennarinn gefur vísbendingar og útvíkkar verkefnin þannig að þau séu hæfileg áskorun. Verkefnið má ekki vera of auðvelt því þá fer nemendum að leiðast, og útvíkkanir á spurningum mega ekki vera allt of krefjandi, því ef áskorunin virðist ókleif er hætt við uppgjöf og vonleysi. Þessi hugmynd er byggð á kenningu ungverska sálfræðingsins Csíkszentmihályi’s um flæði.
  4. Samantekt. Í lokin þarf kennarinn að taka saman og ræða við allan hópinn um hvað þau eigi að taka með sér úr vinnunni. Hér er rými fyrir „beina kennslu“. Kennarinn getur beint athygli nemenda að aðalatriðum, og skal miða við að allir nemendur geti skilið efnið. Einnig geta einstaklingsverkefni fylgt samantektinni.
  5. Námsmatið verður að snúast meira um hugsanaferlin frekar en „afurðirnar“ (svörin). Matið fer að mestu leyti fram með samræðum við nemendur um það hvar þeir séu staddir og hvert þeir stefni í vinnunni. Bæði þarf að meta einstaklingsvinnu og hópvinnu.

Samkvæmt greiningu Peters eru fyrstu fjögur atriðin hér að ofan þau sem auðveldast er að útfæra og líka þau sem hafa mestu og hraðvirkustu sýnilegu áhrifin. Það sem neðar er á listanum er heldur erfiðara að lýsa í smáatriðum og snýr meira að fínni blæbrigðum samskipta og tengsla nemenda og kennara. Hér skal þó ekki gert lítið úr þeirri vinnu sem þarf til þess að breyta kennsluháttum og það mun krefjast töluverðrar hugsunar af hendi kennara. Fyrir kennara sem vilja nýta sér hugmyndirnar í þessum pistli er rétt að benda á vefsíðu Peters, http://www.peterliljedahl.com/ þar sem finna má fjölda verkefnahugmynda og efni sem varpar frekara ljósi á þessar hugmyndir. Auk þess bendum við á eftirfarandi til  frekari lesturs:

Liljedahl, P. (2016). Building Thinking Classrooms: Conditions for Problem-Solving. Í Posing and Solving Mathematical Problems (bls. 361–386). Sviss: Springer

Wheeler, L. (2014-2017). Wheeler’s thoughts on teaching: The thoughts of a high-school teacher. Blogg með mörgum góðum teikningum sem sýna atriðin saman og skipt, og líka í útvíkkaðri mynd, sjá https://mslwheeler.wordpress.com/tag/thinking-classroom/.

Einnig má nefna að von er á bók um þetta efni sem áætlað er að komi út haustið 2020 hjá Sage-útgáfunni Corwin. Efnið í bókinni byggir á rannsóknum yfir 15 ára tímabil í samstarfi við kennara og nemendur í yfir 400 skólum frá síðasta ári leikskóla upp í lokaár framhaldsskóla víðsvegar í Kanada. Var þar um að ræða skóla og nemendur sem eru sambærilegir við það sem gengur og gerist á Íslandi.

Þótt áherslan sé á stærðfræðikennslu þá má vissulega nýta hugmyndirnar í fleiri námsgreinum á borð við íslensku, ensku, samfélagsfræði og náttúrufræði. Nokkrir kennarar hér á landi, bæði á grunnskólastigi og framhaldsskólastigi eru þegar byrjaðir að prófa sig áfram með aðferðir hugsandi skólastofu og verður spennandi að heyra frá þeim hvernig gengur.


Þessi grein er hliðstæð grein sem birtist í Flatarmálum 2018 (1. tölublaði). Birt með leyfi ritstjórnar.


Ingólfur Gíslason er aðjúnkt við Menntavísindasvið Háskóla Íslands og vinnur að doktorsverkefni um stærðfræðimenntun. Hann hefur kennt stærðfræði á framhaldsskólastigi, í fullorðinsfræðslu og í kennaranámi. Rannsóknir hans eru um stærðfræðinám og -kennslu út frá samskiptasjónarhorni og notkun tölvutækni í stærðfræðinámi.

Bjarnheiður Kristinsdóttir er doktorsnemi við Háskóla Íslands og starfar með rannsóknarhópi um nýsköpun í stærðfræðimenntun við Johannes Kepler háskólann í Linz í Austurríki. Hún lauk meistaraprófi í hagnýtri stærðfræði í Þýskalandi, hefur starfað sem framhaldsskólakennari og komið að endurmenntun stærðfræðikennara en einnig er hún virk í stjórn Íslenska stærðfræðafélagsins og í undirbúningsnefnd Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema.


 




Stærðfræðikennslan, kennararnir og vinnuaðstaða þeirra: Skóli margbreytileikans í Torontó með stærðfræðigleraugum

Í febrúar, fyrr á þessu ári heimsótti Sigrún Lilja Jónasdóttir, kennari við Austurbæjarskóla, tvo framhaldsskóla í Torontó í Kanada, Western Technical-Commercial School (WTCS) og Central Toronto Academy School (CTA). Í þremur greinum sem Sigrún Lilja hefur skrifað fyrir Skólaþræði, segir hún frá heimsókn sinni. Í þeirri fyrstu fjallaði hún um hvernig unnið er með nemendum með annað móðurmál en ensku eða frönsku, sjá hér. Önnur greinin, sem hér birtist, fjallar um skólana, stærðfræðikennarana og vinnuaðstöðu þeirra og sú þriðja, sem birt verður fljótlega, er um námsefni í stærðfræði, kennsluaðferðir og fleira.

Sigrún Lilja Jónasdóttir

Þessi grein er byggð á samtölum mínum við stærðfræðikennara skólanna tveggja og heimsóknum mínum í kennslustundum hjá þeim. Hvaða skoðun hafa þeir á skólamálum og vinnuaðstöðu sinni? Greinar, sem hafðar voru til hliðsjónar, eru í heimildaskrá.

Í samræðum mínum við kennara skólanna segja þeir frá samvinnu og samstöðu milli skólayfirvalda, kennara og foreldra. Viðmiðið er að allar framfarir í skólanum eigi að stuðla að þvi að styrkja nemendur og námsaðstæður þeirra. Kennararnir segjast vera hafðir með í ráðum þegar gera á breytingar á skólakerfinu. Þeim finnst að mikil virðing sé borin fyrir kennurum, þeim séu sköpuð tækifæri og þeir studdir í starfi sínu eins og mögulegt er. Í skólaþróun er lögð áhersla á fá markmið í einu og stórstígar framfarir hafa orðið í lestri, ritun og stærðfræði undanfarin ár (Þorsteinn Hjartarson, 2015). Kennararnir segja að það sé ekki mikið fjármagn í kerfinu og meiri áhersla lögð á að hugsa um þarfir nemenda með því að setja stuðningsaðila inn í hópa, aðstoðarmenn með nemendum sem hafa mikla greiningu, búa til litla námshópa og fleira af því tagi, heldur en að endurnýja húsgögn eða búnað í skólunum.

Í Kanada er ekki eitt skólakerfi fyrir allt landið heldur falla skólarnir undir stjórn hvers héraðs fyrir sig, líka háskólastigið. Báðir skólarnir sem ég dvaldi í eru framhaldsskólar og hefja nemendur nám almennt árið sem þeir verða 14 ára og þeir byrja þá í 9. bekk. Þeir ljúka námi árið sem þeir verða 18 ára og þá eftir 12. bekk. Í lok 10. bekkjar þurfa nemendur að velja sér brautina sem þeir ætla að vera á. Margt er í boði í þessum skólum, bóklegt nám fyrir háskóla eða þá að nemendur stefna á nám í starfsmenntaskóla. Hluti nemenda fer í sérhæft nám (e. specialist high skills major) sjá nánar í fyrstu grein. Í lok 10. bekkjar taka nemendur nokkurs konar samræmt próf sem þeir þurfa að standast til að geta farið, t.d. á bóklega braut í stærðfræði. Nemendur fá þó tækifæri til að taka prófið aftur í lok 11. bekkjar. Ég heyrði á sumum stærðfræðikennurunum að þeir voru óhressir með það að árið 2000 var skólinn styttur og 13. bekkur lagður af. Þeim fannst nemendurnir of ungir 18 ára til að fara í háskólanám. Á skólaárinu eru tvær annir frá 1. september til 31. janúar og 1. febrúar til 30. júní. Próf eru haldin í janúar og júní. Gefin eru vetrarleyfi, eina viku í mars, hefðbundið jóla- og páskaleyfi ásamt einstaka lengri helgarfríum með leyfi á föstudegi og mánudegi (Western Technical-Commercial School, Program Book 2018 – 2019).

Til að útskrifast úr framhaldsskóla þurfa nemendur að ljúka 30 áföngum. Þar af þurfa að vera að lágmarki þrír stærðfræðiáfangar. Ef nemandi stefnir á bóklegt nám tengt raungreinum tekur hann fjóra til fimm áfanga. Kennslustundir í skólunum eru 75 mínútur og það eru fimm mínútur á milli tíma. Kennari í fullu starfi þarf að kenna þrjár kennslustundir alla virka daga til að uppfylla kennsluskyldu sína.

Dæmigerð kennslustofa í WTCS með tilheyrandi gögnum

Það eru a.m.k. sjö mismunandi námsáfangar í stærðfræði í boði í WTCS skólanum. Kennararnir segja að mikil áhersla sé lögð á að nemendum og kennurum líði vel í skólanum. Komnar eru snjalltöflur í einstaka stofur en kennarar nota gömlu krítartöflurnar með. Margir kennaranna nota lesvarpa sem er ódýrari lausn en að kaupa snjalltöflu. Þeir nota hann þannig að þeir eru til dæmis að leysa skriflegt verkefni með nemendum og sitja þá jafnvel í sínu sæti, varpinn sýnir blaðið og lausnirnar uppi á töflu. Yfirleitt er hver kennari með sína eigin stofu og nemendur fara á milli.

Hér er lesvarpinn, armurinn tekinn upp og kennarinn skrifar á verkefnablaðið

Flestir kennararnir nota Google Classroom og setja verkefnin þar inn fyrir þá nemendur sem e.t.v. eru veikir heima og hina til að skoða betur. Borð og annar búnaður er frekar  gamaldags, en í CTA skólanum er verið að endurnýja húsgögn. WTCS skólabyggingin er líka gömul og þarfnast viðhalds. Í báðum skólunum eru nemendaverkefni uppi á veggjum ásamt ýmiss konar stærðfræðiupplýsingum. Kennarar segjast hafa gott aðgengi að fjölbreyttu efni til að nýta í starfi sínu. Skólayfirvöld í héraðinu gefa út námskrár og námsefni og auk þess ýmis konar gátlista, kannanir og próf. Kennarnir telja mikinn stuðning af þessu og þeir nota þetta efni eftir því sem hentar nemendahópum þeirra.

Stærðfræðikennarar allra skóla í fylkinu hittast á fundum tvisvar á ári. Þar miðla þeir upplýsingum sín á milli og deila verkefnum og reynslusögum af því sem vel gengur. Kennararnir telja þessa fundi mjög mikilvæga og að þeir þjappi þeim saman um kennslu greinarinnar.

Mikið af verkefnum á veggjum

Ég fylgdist með kennurum að starfi í báðum skólum og gef hér nokkur dæmi. Í WTCS skólanum fylgdist ég með reyndum kennara í sérkennslutíma (e. special needs). Í hópnum eru nemendur úr öllum árgöngum skólans, en flestir þó úr 9. og 10. bekk. Kennarinn segir mér að þeir mæti mjög illa og þetta úrræði sé sérsniðinn hjálparbekkur. Kennari byrjar á að sýna pappírsstrimil, býr til hring og mælir ummál. Síðan opnar hann hringinn og límir öfugt saman þannig að snúningur myndast, þ.e. Möbíusar-band. Hann klippir bandið í miðju, tekur í sundur og þá hefur ummál hringsins tvöfaldast. Kennarinn sýnir líka hvað gerist ef hann klippir bandið út frá einum þriðja af breiddinni en þá myndast upphaflegi hringurinn og einn tvöfaldur hringur líka. Nemendur fá að prófa verkefnið og hafa gaman af. Fimm nemendur mæta í tímann ásamt einum aðstoðarmanni. Kennarinn lætur síðan nemendur alla hafa mismunandi verkefni, þrír eru að vinna með peninga, einn er að æfa sig í að telja og einn er að vinna við margföldun og deilingu brota. Kennarinn segir að þessi síðastnefndi nemandi ætti í raun ekki að vera í hópnum en vegna þess hve litla skólagöngu hann hefur fengið sé hann í vanda þó hann eigi ekki við námsörðugleika að stríða. Kennarinn telur að nemandinn hafi ekki fengið rétta greiningu á Skólaskrifstofu Torontó-héraðs þegar hann kom til landsins. Mikil einstaklingshjálp er í boði fyrir nemendur. Kennarinn segir að skólaskrifstofan vilji að allir þessir nemendur séu í venjulegum blönduðum  bekkjum, en skólinn hafi ennþá komist upp með að hafa þá í sérstökum bekk. Kennarinn tilkynnir nemendum að skólinn bjóði upp á tvo stuðningstíma í stærðfræði á mánudögum og miðvikudögum. Foreldrar þurfi að kvitta ef nemendur ætli að nýta sér þetta tilboð. Aðstoðarfólk er sett inn í þá bekki þar sem nemendur eru illa staddir og jafnvel er ein manneskja með einum nemanda, sem er þá að glíma við mikinn námsvanda. Þó er algengast að stuðningsfulltrúi sé allan daginn í bekkjardeildum þar sem margir nemendur glíma við samskiptavanda eða námsörðugleika. Í öðrum bekkjum þar sem námsáhugi er meiri eru oftast fleiri nemendur, jafnvel allt að 30 í bekk. Í báðum skólunum voru fámennir nemendahópar þar sem staða nemenda í stærðfræði var slæm.

Í WTCS  skólanum fylgist ég með kennslustund hjá mjög sterkum hópi nemenda í 10. bekk. Í hópnum eru nemendur sem komu mjög vel út í einhvers konar greindarprófi. Þeim, sem eru í hópi þeirra hæstu (2%) á prófinu, stendur til boða að fara í nokkurs konar hraðferð í stærðfræði. Kennarinn segir þó að það sé ekki endilega þannig að allir þessir nemendur séu sérstaklega sterkir í stærðfræði. Þarna eru allir með sama námsefnið og unnið er með jöfnur með tveimur breytum. Ég hlustaði á sérstaklega skemmtilegar umræður um efnið og námsáhugi var greinilega mikill.

Ég sat í kennslustundum hjá sjö stærðfræðikennurum í þessum skóla og fylgdist með sumum þeirra heilan skóladag og stundum lengur. Það vakti sérstaklega athygli mína hvað þeir voru áhugasamir um sitt starf og samheldnin mikil. Í skólanum höfðu þeir sérstaka vinnuaðstöðu fyrir sig saman. Þar voru líka geymdar námsbækur, grafískar reiknivélar á kerru og fleiri hjálpargögn sem þeir gátu tekið með sér út í stofurnar.

Í CTA skólanum sat ég í tímum hjá þremur stærðfræðikennurum, tveir þeirra voru með mjög mikla reynslu, en einn var nýlega byrjaður að kenna stærðfræði. Skólinn gefur sig út fyrir að bjóða upp á 21. aldar nám og kennslu (e. 21st century learning).  Þarna eru allar námsbækur rafrænar, allir kennarar nota Google Classroom og mjög margir eru komnir með snjalltöflur, þó ekki allir, sumir vilja þær ekki. Þessi skóli tekur marga kennaranema í vettvangsnám (Central Toronto Academy, Program Book 2018 – 2019).

Lifandi blóm í glugga kennslustofu

Í stærðfræðinni er í hverjum árgangi einn bekkur sem er almennt fyrir nemendur með stærðfræðiörðugleika. Þarna eru bæði ELL nemendur og aðrir sem eiga í erfiðleikum í stærðfræði. Svo er líka námsleið sem þeir kalla nám í grunnþáttum (e. general learning skills) og er þar veitt aðstoð ef nemendur eru illa staddir. Síðan eru a.m.k. sex mismunandi stærðfræðiáfangar í boði eftir því á hvaða námsbraut nemendur eru. Í skólanum er sérstök aðstaða fyrir þá sem standa mjög illa. Námsumhverfið þar er aðlaðandi, mikið af blómum og bjargir uppi um alla veggi og einstaklingshjálp mikil. Krakkarnir fá líka að vera inni í stofunni í hádegishléi ef þeir vilja. Í hópnum eru núna  sex nemendur.

Stærðfræðikennararnir eru viljugir að aðstoða nemendur við heimanámið. Kínversku og víetnömsku nemendurnir eru sérstaklega duglegir við að nýta sér þessa hjálp, en þessi hópur þykir áhugasamur um námið ‒ kominn í skólann til að læra. Þessir nemendur leita mikið til elsta stærðfræðikennara skólans. Hann hefur kennt í 40 ár og nemendur hans hafa náð góðum námsárangri í stærðfræði. Hann leggur áherslu á að vera til staðar og styðja nemendur en hefur ekki trú á að tækninýjungar eins og snjalltöflur séu til bóta. Hann hefur gott orðspor og var áhugavert að fylgjast með kennslu hans og samskiptum við nemendur.

Mér fannst áberandi hvað kennararnir voru sterkir raungreinamenn. Þeir unnu vel saman og greinilegt að þeir lögðu mikla áherslu á framfarir nemenda og náðu árangri. Hver einasti kennslutími var nýttur eins vel og hægt er. Kennslustundir eru oftast 75 mínútur og kennararnir brjóta þær reglulega upp. Þeim tókst vel að ná til nemenda og höfðu þá mikið með í umræðunni um námið. Góður andi milli kennara og nemenda var það sem vakti mesta athygli mína og nemendurnir bera greinilega virðingu fyrir kennurum sínum. Vinnuaðstæður voru mismunandi en það var eins og kennurunum væri nokkuð sama þó borðin í stofunum væru léleg og að þeir þyrftu jafnvel að hafa pappír á rúðunum svo hægt væri að sjá á snjalltöfluna. Vinnuaðstaða kennarana var ekki góð en áberandi var að það var lögð áhersla á að þeir nýttu nýja tækni og fjármunir höfðu verið settir í tæknina sjálfa og ýmis námsgögn því tengd. Tíminn mun leiða í ljós hvert notagildi hennar verður til framtíðar. Mun hún skila betri árangri hjá nemendum og létta kennurum starfið?

Í næstu grein mun ég fjalla um námsefnið, kennsluaðferðir og fleira.

Heimildir

Borgarholtsskóli. (2010). Ferð starfsfólks til Torontó. Sótt af https://www.bhs.is/skolinn/frettir/nr/1551

Central Toronto Academy, Program Book 2018 – 2019.

Western Technical-Commercial School, Program Book 2018 – 2019.

Þorsteinn Hjartarson. (2015). Tölum vel um kennarana og náum betri árangri í skólastarfi. Sótt af https://www.arborg.is/tolum-vel-um-kennara-og-naum-betri-arangri-i-skolastarfi/


Sigrún Lilja Jónasdóttir er stærðfræðikennari við Austurbæjarskóla þar sem hún hefur kennt í 33 ár. Meðfram kennslu sinni í Austurbæjarskóla hafði Sigrún Lilja lengi umsjón með samræmdum prófum í stærðfræði hjá Námsmatsstofnum sem þá var. Sigrún Lilja er ein af stofnendum Hollvinafélags Austurbæjarskóla sem meðal annars hefur komið upp skólamunastofu í risi skólans.


 

 




Horft á móttöku nemenda með annað móðurmál en ensku eða frönsku: Skóli margbreytileikans í Torontó með stærðfræðigleraugum

Í febrúar síðastliðinn heimsótti Sigrún Lilja Jónasdóttir, kennari við Austurbæjarskóla, tvo framhaldsskóla í Torontó í Kanada; Western Technical-Commercial School (WTCS) og Central Toronto Academy School (CTA). Í þremur greinum sem Sigrún Lilja hefur skrifað fyrir Skólaþræði, segir hún frá heimsókn sinni. Í þeirri fyrstu, sem hér birtist, fjallar hún um hvernig unnið er með nemendum með annað móðurmál en ensku eða frönsku. Önnur greinin, sem birt verður fljótlega, fjallar um skólana, stærðfræðikennara og vinnuaðstöðu þeirra og sú þriðja um námsefni í stærðfræði, kennsluaðferðir og fleira.

Sigrún Lilja Jónasdóttir

 

Skólaskrifstofa Torontó-héraðs (e.The Toronto Distric School Board, TDSB) er stærsta skólaskrifstofan í Kanada og ein sú stærsta í Norður Ameríku með rúmlega 450 grunnskóla (e. elementary schools eða primary schools), meira en 100 framhaldsskóla (e. secondary schools eða high schools) og fimm fullorðinsskóla (e. learning for life). Í viðtölum við skólastjórann, Anthony Vandyke, í Western Technical-Commercial School.kemur fram að stór hópur nemenda er með ensku sem viðbótartungumál.

Í stefnu frá ráðuneyti fræðslumála í Ontario um menntun má sjá að lögð er áhersla á menntun fyrir alla nemendur. Koma skal til móts við þarfir þeirra, þeim hjálpað eins og kostur er og þeir hvattir til að stunda lærdóminn af kappi. Þá er menningu og bakgrunni foreldra sýnd virðing og þeir boðnir velkomnir í skólana. Allir meðlimir skólasamfélagsins skulu vera öruggir, virða skal fjölbreytileikann, sýna öðrum virðingu og helga sig því að búa til réttlátt og umhyggjusamt þjóðfélag (Ontario Ministry of Education, 2009).

Í Kanada er mikill fjöldi innflytjenda og margir þeirra hafa annað móðurmál en ensku eða frönsku. Í enskumælandi hluta Kanada er talað um ELL nemendur, þ.e. english language learners, því svo margir nemendanna eru með mörg tungumál fyrir og þeim þykir ekki rétt að tala um ensku sem annað tungumál þeirra. Bekkirnir þar sem einungis er verið að kenna ensku og veita stuðning við tungumálið eru þó kallaðir ESL (e. english as a second language) bekkir. Það er Skólaskrifstofa Torontó-héraðs (TDSB) sem tekur á móti nýjum nemendum sem koma til héraðsins erlendis frá og þar fara þeir í nokkurs konar greiningu á stöðu sinni. Greiningarprófin fara einungis fram á skólaskrifstofunni, en mappa með verkefnum nemandans fylgir til þess skóla sem hann fer í. Skólaskrifstofan hefur síðan samband við skólana ef nemandinn býr í nágrenninu og hentugt úrræði fyrir viðkomandi er fundið. Hér á eftir mun ég segja frá því hvernig þessir tveir skólar sem ég dvaldi í taka á móti erlendum nemendum sem hafa annað móðurmál en ensku. Ég tók viðtöl við skólastjóra skólanna tveggja, fékk tækifæri til að vera með í mörgum kennslustundum og átti óformleg viðtöl og samræður við starfsfólk skólanna.

WTCS í Torontó

Western Technical-Commercial Schoolsecondary school er með um 1200 nemendur. Þetta er framhaldsskóli þar sem nemendur eru í 9.–12. bekk. Þar af eru 400 með ensku sem viðbótartungumál. Það eru sex nemendahópar á vorönn með ELL nemendur. Hér er átt við litla hópa nýkominna nemenda með litla enskukunnáttu sem skipt er eftir námsgreinum. Nemendur eru hafðir sér í stærðfræði, náttúrufræði og fleiri greinum en eru í list- og verkgreinum með öðrum nemendum. Það eru einungis tveir til sex nemendur í hverjum svona hópi, en þeir eru síðan settir inn í fjölmennari hóp eins fljótt og hægt er. Þarna er lögð áhersla á að kenna enskuna í vinnu með faggreinar. Þessir nemendur eru svo líka saman í ESL hópum til að fá stuðning við tungumálið og æfa enskuna. Í byrjun vorannar 2019 eru um það bil 16 ELL nemendur í skólanum. Þarna eru á ferðinni nemendur sem enn kunna sáralitla ensku. Stærð nemendahópanna er mismunandi til að mæta þörfum ELL nemenda við innritun. Þegar ráðgjafar búa til stundatöflu fyrir erlenda nemendur, sem læra ensku á haust- og vorönn, eru þeir settir inn í ESL bekki eftir því sem hentar miðað við enskukunnáttu þeirra. ELL nemendur eru líka skráðir í áfanga um margvísleg efni. Þeir fara ýmist í áfanga sem eru sérstaklega ætlaðir nemendum sem eru að læra ensku eða áfanga þar sem þeir taka þátt með innfæddum enskumælandi nemendum. Með þessum fjölbreyttu áföngum í bóklegu námi og list- og verkgreinum er vel haldið utan um umrædda ELL nemendur bæði faglega og félagslega.

Hér á eftir er dæmi um kennslustund í ELL bekk í stærðfræði. Þótt bekkurinn tilheyri 10. bekk þá eru nemendur í honum á mismunandi aldri. Kennarinn er ungur en þó með mikla reynslu í að kenna ELL nemendum stærðfræði. Tíminn hefst á því að í gegnum innanhúskerfi skólans koma nokkrar tilkynningar og svo standa allir upp til að syngja saman. Þema mánaðarins er saga fólks af afrískum uppruna og tengist lagið því þema. Mættir eru þrír nemendur af sex, tvær stúlkur frá Sómalíu og drengur frá Eþíópíu sem hefur annað móðurmál en stúlkurnar. Þegar tíminn er meira en hálfnaður koma tveir spænskumælandi drengir inn. Nemendur tala litla sem enga ensku en kennarinn notar greinilega stærðfræðina til að gefa nemendum tækifæri til að spreyta sig á tungumálinu. Hann hefur verið að kenna þeim á peninga og heldur því áfram í þessari kennslustund. Kennarinn reynir að ná nemendunum með um leið og hann útbýr verkefni á töfluna. Á veggjum kennslustofunnar eru miðar sem gefa til kynna að nemendur kunni litla ensku. Heiti daga og mánaða, helstu veðurlýsingar og margt fleira er sett upp bæði á ensku og á myndrænan hátt. Þegar kennarinn er búinn að vinna töluvert með námundun með peningum og láta nemendur finna út hve miklir peningar eru á myndum og fleira leggur hann lítið prófverkefni um peninga fyrir þá. Í prófinu eru myndir af peningum og eiga nemendur að námunda upphæðina að heilum dollurum og svo framvegis. Þetta er verkefni sem kennarinn útbýr sjálfur fyrir nemendur og hann er greinilega búinn að útbúa mörg góð verkefni af þessu tagi sem hann hefur líka látið aðra kennara fá.

Í kennslustund í sama bekk nokkrum dögum seinna eru sömu þrír nemendurnir frá Afríku mættir í upphafi tímans. Nú þekkja þeir mig og eru meira tilbúnir til að reyna að spjalla. Það kemur í ljós að foreldrar stelpnanna frá Sómalíu eru ekki með þeim í Kanada. Önnur kom fyrir ári og byrjaði hún þá í öðrum skóla. Hin byrjaði fyrir sex mánuðum og eru þrjú systkini hennar líka í Torontó. Báðar búa þær hjá frændfólki sínu. Strákurinn frá Eþíópíu talar aðeins meiri ensku, segist hafa lært hana svolítið í skólanum heima. Móðir hans dó þegar hann var kornabarn og hann er alinn upp hjá föðurforeldrum í Eþíópíu. Pabbi hans hefur verið í Kanada í 15 ár og tók hann til sín fyrir þremur mánuðum. Hann saknar heimalandsins. Stuttu eftir að kennslustundin hefst mætir strákur sem hefur náð þokkalegum tökum á ensku, þ.e. götumálinu, en vill ekkert læra. Það sama má segja um stúlku sem einnig bætist í hópinn, hún vill ekkert læra. Þessir tveir nemendur búa víst í einhvers konar kommúnu með ættingjum sínum. Kennarinn er enn að kenna nemendum að námunda og versla í búðum. Hann segir þeim hvar ódýrast sé að kaupa inn, lætur þá velja hvað á að kaupa og nemendur leggja svo saman í huganum. Kennarinn togar nemendur eins mikið inn í umræðuna og hann getur. Hann æfir þá einnig í að gefa til baka og lætur þá þjálfa hugarreikning með vinnu í búð í huga. Kennarinn þjálfar bara samlagningu og frádrátt því nemendur hafa enn ekki lært að margfalda. Hann fer yfir verkefni með nemendum, námundar að heilu hundraði eða þúsundi leggur svo saman og dregur frá. Kennarinn leggur fyrir mörg góð verkefni sem virðast henta nemendum. Hann nær að draga flesta inn í umræðuna. Hann notar mikið almenn orð eins og sækja, senda o.fl. Í lokin notar kennarinn símann og tekur mynd af verkefninu (notar App Cam Scanner) sem hann var að vinna með nemendum, fær skjöl og býr til pdf. Þetta sendir hann svo inn á Google Classroom þannig að allir nemendur sjái það og geti skoðað betur heima. Þessi bekkur er bara fyrir ELL nemendur en kallaður ELD (e. english language development) þá er búist við að staðan sé slæm. Nemendur gætu farið seinna í mismunandi stærðfræðiáfanga eins og MAT2LL, þá þýðir seinna ellið að þeir séu slakir í ensku, eða MAT2LI sem er hærri staðall og þau komin mun lengra með tungumálið. Áfangar sem enda á L eru ætlaðir fyrir ELL nemendur.

Auglýsingaskilti fyrir utan CTA

Central Toronto Academysecondary school er með um 700 nemendur. Þetta er líka framhaldsskóli fyrir 9.–12. bekk. Þar af eru rúmlega 150 með ensku sem viðbótartungumál. Hér er líka talað um ELL nemendur og ESL fyrir hópana sem eru fyrst og fremst að læra enskuna. Þeim er skipt í A-B-C-D-E bekki þar sem A er fyrir þá sem ekkert kunna í ensku. Margir koma frá Kína og Víetnam. Þetta eru nemendur sem fara til Kanada til að hljóta betri alhliða menntun. Sumir nemendur koma til landsins með foreldrum sínum en aðrir eru í nokkurs konar skólabúðum þar sem við stjórn er maður sem talar þeirra tungumál. Í skólanum er ELL nemendum blandað inn í nemendahópa í námsgreinum eins og mögulegt er. Í stærðfræðinni er bara einn bekkur í hverjum árgangi sem er almennt fyrir nemendur með stærðfræðiörðugleika. Þarna er blanda af ELL og öðrum nemendum sem eiga erfitt með stærðfræðina. Það eru þó nokkrir ESL hópar í skólanum þar sem nemendur læra ensku á mismunandi stigum. Skólastjórinn, Iwona Kurman, er mjög ánæg með að fá inn þessa nemendur frá Kína og Víetnam. Hún segir að þeir séu svo duglegir námsmenn. Kennarar segja þessa erlendu nemendur fljóta að ná enskunni í gegnum stærðfræðina og að stærðfræðihugtökin lærist fljótt ef þeir séu í námi með innfæddum.

Kennari hjálpar nemendum við heimanám

Hér á eftir er dæmi um kennslustund í ESL þar sem hópur nýkominna nemenda er að læra ensku. Um kennsluna sér ungur kennari með góða reynslu á þessu sviði. Í stofunni er hópborð og miklar enskubjargir út um allt. Má þar nefna: mynd af sól og orðið á ensku, tölustafirnir, dagatal, helstu sagnir. Námsumhverfið er vinalegt og kennarinn þolinmóður. Hann byrjar á að tala um hvaða dagur sé í dag og hvernig veðrið sé. Hann spjallar almennt við nemendur um þeirra daglega líf, hvað þeir hafi verið að gera í gær o.s.frv. Kennarinn notar lesvarpa til að varpa upp æfingu með því sem hann er að þjálfa í dag. Þarna er greinilega verið að bæta við orðaforða nemenda í ensku, notaðar eru stuttar setningar og svo fylgir verkefni með svipuðum orðum á eftir. Krakkarnir eru yfirleitt eina til tvær annir í umræddu ESL prógrammi og þá eingöngu í list- og verkgreinum að auki. Síðan fara þeir inn í stærðfræðina og byrja þeir þá oftast í áfanganum fyrir þá sem lítið geta, en þó ekki alltaf. Það tekur oftast eina til tvær annir fyrir nemendur að komast úr A og B bekkjunum í enskunáminu.

Ég varð vör við það í báðum skólunum að kennarar reyna að nýta sér ákveðið fyrirkomulag við kennslu nemenda sem eru með annað móðurmál. Í þessu fyrirkomulagi er unnið með fjóra lykla til fræðilegrar velgengni með ELL nemendur (e. four keys to academic success). Þessir lyklar byggjast á rannsókn Freeman og Freeman (2007) sem þeir gerðu í samvinnu við kennara í ensku sem viðbótartungumáli í kringum 2001. Lyklarnir heita eftir höfundum sínum og eru kallaðir Freeman og Freemans lyklar.

Fyrsti lykillinn felst í að fá nemendur með í námið. Notað er námsefni sem grundvallað er á fræðilegum hugtökum úr mismunandi námsgreinum sem hægt er að tengja við orðaforða og endurtaka eðlilega við ýmsar aðstæður. Efnið er skipulagt í kringum hugtök sem gefa nemendum tækifæri til að flytja til þekkingu og skilning sem þeir hafa í farteskinu. Þannig yfirfæra þeir fyrri þekkingu sína á annað tungumál.

Annar lykillinn hvetur kennara til að nota bakgrunn nemanda, þar með reynslu þeirra, menningu og tungumál. Kennarar eiga þá markvisst að fá nemendur til að nýta bakgrunn sinn og tengja síðan við enskuna. Kennurunum er ætlað að leggja áherslu á að gera hlutina skiljanlegri fyrir ELL nemendur með því að tengja viðbótarhugtök og hugmyndir við reynsluheim þeirra.

Þriðji lykillinn hvetur kennara til að skipuleggja samvinnu nemenda og reyna að byggja undir og efla enskan orðaforða í námsgreinunum. Heppilegt er að kennarar komi á góðum umræðum, vitrænu spjalli við nemendur og bæti við stuðningi til að vera vissir um að það sem sagt er sé skiljanlegt. Gott er að nota hjálpartæki s.s. myndir, leikræna tjáningu o.fl.

Fjórði lykillinn hvetur kennara til að styðja nemendur í að byggja upp sjálfstraust sitt. Mikilvægt er að ELL nemendur líti á sig sem hverja aðra námsmenn og að kennarar læri að þekkja hæfileika sérhvers nemanda og viðurkenna menningu og persónuleg sérkenni þeirra. Kennarinn þarf að byggja upp aðstæður og námsrými þar sem nemendur leggja sig fram um að læra (Freeman og Freeman, 2007).

Í báðum skólunum er boðið upp á sérhæft nám (e. specialist high skills major). Þessi sérhæfing er í 11. og 12. bekk. Þá geta nemendur sérhæft sig í ýmsum greinum s.s. matreiðslu, tækni, listum o.fl. Nemendur velja sér viðfangsefni sem henta getu þeirra og áhugasviði. Nemendur fá síðan útskriftarskjal frá skólunum um að þeir hafi sérhæfingu (e. Ontario Secondary School Diploma) í tilteknu fagi. Þetta er kallað OSSD útskrift. Nemendur þurfa að ljúka átta til tíu áföngum í fagi til að útskrifast. Þeir hafa þá tekið áfanga eins og skyndihjálp  o.fl. sem tengist atvinnulífi og hafa með fjölmenningarlegri kennslu öðlast mikilvægan skilning á vinnu á sviði sérhæfingar sinnar. Í þessu námi felst starfsnám hjá fyrirtækum og er gott samstarf við fyrirtæki og stofnanir í nærumhverfinu. Erfitt er fyrir ungmenni að fá vinnu ef þau hafa ekki a.m.k. lokið slíkri sérhæfingu.

Í skólunum er áberandi hvað skólastjórarnir eru mikið á ferðinni um skólann. Þeir koma inn í stofur, eru á göngunum og fylgjast vel með starfseminni frá degi til dags. Þeir eru jákvæðir og hrósa bæði nemendum og kennurum. Mjög er vandað til þess efnis sem fer inn á hátalarakerfin í skólunum. Þau er notuð til að þjappa saman hópnum, skapa skemmtilegan skólabrag og vera upplýsandi og fræðandi. Saga skólanna er sýnileg á veggjum þeirra, því þar má finna útskriftarmyndir nemenda, myndir af gömlum kennurum og stjórnendum. Sagan á staðnum er sýnd í bland við nýleg verkefni nemenda.

Mikil áhersla er lögð á fjölmenningarlega menntun og skóla margbreytileikans í báðum skólunum. Kennarar fá fræðslu um hvernig hentugt sé að vinna með nemendur með annað móðurmál en ensku og byggja á hugmyndafræðinni sem fram kemur í lyklunum fjórum (Gagné og Gordon, 2014). Reynt er eftir bestu getu að láta alla nemendur njóta sín og líða vel. Kennarar eru til staðar fyrir nemendur í kennslustofum sínum eftir kennslu eða í hádegi eftir samkomulagi. Á heildina litið virðast skólar í Kanada taka vel á móti nemendum af erlendum uppruna og reyna eins fljótt og hægt er að koma þeim inn í þjóðfélagið á allan hátt. Í 2. grein mun verða horft meira á stærðfræðikennarana og vinnuaðstöðu þeirra.

Á ganginum við skrifstofuna í CTA

 

Heimildir

Gagné, A. og Gordon S.S. (2014). Social justice for English language learners at Parkdown Secondary School in Toronto. Í Hanna Ragnarsdóttir og Clea Schmidt (ritstjórar). Learning spaces for social justice: International perspectives on exemplary practices from preschool to secondary school. London: A Trentham book. IOE Press. Learning Spaces for social justice.

Freeman, D. and Freeman, Y. (2007). English language learners: The essential guide. New York: Scholastic.

Ontario Ministry of Education (2009). Equity and inclusive education in Ontario schools guidelines for policy development and implementation. Toronto.

 


Sigrún Lilja Jónasdóttir er stærðfræðikennari við Austurbæjarskóla þar sem hún hefur kennt í 33 ár. Meðfram kennslu sinni í Austurbæjarskóla hafði Sigrún Lilja lengi umsjón með samræmdum prófum í stærðfræði hjá Námsmatsstofnum sem þá var. Sigrún Lilja er ein af stofnendum Hollvinafélags Austurbæjarskóla sem meðal annars hefur komið upp skólamunastofu í risi skólans.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 




Skólaumbætur í deiglu – inngangsorð Guðnýjar Helgu Gunnarsdóttur

©Kristinn Ingvarsson
Starfsmannamyndir

Guðný Helga Gunnarsdóttir

 

Ég hóf minn kennsluferil á miðstigi í Mýrarhúsaskóla á Seltjarnarnesi og þar var mikið að gerast á þessum tíma. Þar var unnið að þróunarverkefni sem fólst í því að draga úr heimanámi nemenda og var sérstökum heimanámstímum bætt við stundaskrá allra nemenda. Einng fór fram tilraunakennsla á nýju námsefni í samfélagsfræði fyrir yngsta stig og starfaði fólk við skólann sem vann með hópi námsefnishöfunda hjá menntamálaráðuneytinu að að endurskoðun náms- og kennsluhátta í samfélagsfræði og var gjarnan kallaður samfélagsfræðihópurinn. Mikil áhersla var lögð á hópvinnu í öllum greinum og myndræna útfærslu á verkefnum nemenda. Mýrarhúsaskóli var einnig leiðandi í kennslu sex ára barna sem ekki var lögbundin þá þessum tíma og þar fór fram öflugt starf undir stjórn bæði menntaðra grunn- og leikskólakennara. Í skólanum fór einnig fram tilraunakennsla á nýju námsefni í stærðfræði. Ég kenndi meðal annars nýtt stærðfræðinámsefni eftir Agnete Bundgaard. Við þá kennslu fengum við kennarar stuðning frá námstjóra og kennsluráðgjöfum sem á sama tíma unnu að því að þróa og prófa nýtt íslenskt námsefni í stærðfræði. Á fræðslufundum sem haldnir voru reglulega hittum við líka kennara í öðrum skólum og heyrðum hvernig þeir voru að takast á við verkefnið sem mörgum fannst erfitt. Tónmenntakennari skólans tók virkan þátt í endurskoðun og gerð námsefnis í tónmennt. Einnig má geta þess að Mýrarhúsaskóli varð 100 ára 1975 og var haldin vegleg afmælishátíð af því tilefni þar sem nemendur unnu að ýmsum þematengdum verkefnum sem tengdust sögu skólahalds á Seltjarnarnesi.

Framboð á námskeiðum á þessum tíma var gott. Hér er yfirlit yfir þau námskeið sem ég sótti fyrstu árin, sem og þróunarverkefni sem ég tók þátt í.

  • Ágúst 1975 – námskeið um dönskukennslu
  • Júní 1976 – Tvö vikulöng námskeið um líffræðikennslu á Stórutjörnum í Þingeyjarsýslu
  • Júní 1977 – Tveggja vikna námskeið um líffræðikennslu í Laugagerðisskóla á Snæfellsnesi
  • Ágúst 1978 – Byrjendakennsla – vikulangt námskeið í Heiðarskóla í Leirársveit
  • Þróunarverkefni um notkun spila í kennslu veturinn 1976–1977
  • Tilraunakennsla á líffræðinámsefninu um manninn, veturinn 1977–1978

Á námskeiðunum var kynnt nýtt námsefni sem var í þróun og áhersla lögð á breytingar á kennsluháttum. Í kjölfar námskeiðanna fengum við tækifæri til að prófa hugmyndir í eigin kennslu og jafnvel tilraunakenna námsefni. Þá hittum við höfunda og aðra kennara sem voru að takast á við það sama. Þetta voru gríðarlega spennandi tímar.

Júnímánuður 1976 á Stórutjörnum líður mér seint úr minni og ég veit að svo er um ýmsa aðra hér. Ég fór á líffræðinámskeið sem var fyrstu vikuna í júní. Þar var áherslan á líf í fersku vatni og farnar voru fjölmargar vettvangsferðir til að safna sýnum og dýrum sem síðan voru skoðuð og greind. Þarna opnaðist fyrir okkur algjörlega nýr heimur. Samtímis var þarna námskeið um íslenskukennslu og annað um samfélagsfræðikennslu. Þetta var allt svo spennandi og skemmtilegt að ég gat ekki slitið mig frá þessu. Ég fékk leyfi til að sækja næsta líffræðinámskeið líka og ég flaug suður og sótti Þóru dóttur mína sem þá var fjögra ára tók hana með mér. Hún undi sér þarna vel og tók þátt í að skoða náttúruna og umhverfið. Eina nóttina fékk hún reyndar hálfgerða martröð því hún hafði verið að skoða stóra humlu í víðsjá mest allan daginn.

Allt var þetta starf unnið undir stjórn námstjóranna og þess fólks sem vann í samstarfi við þá að þróun og endurnýjun námsefnis og kennsluhátta. Ýmsir eru því miður fallnir frá – sumir hverjir fyrir aldur fram. Ég ætla ekki að nefna nein nöfn því þá gleymist örugglega einhver en við minnumst þeirra með virðingu og þökk.

Haustið 1978 var mér falið að vinna verkefni sem tengdist stærðfræðikennslu fyrir skólarannsóknardeild undir leiðsögn og stjórn Önnu Kristjánsdóttur námstjóra. Í kjölfarið varð ég kennsluráðgjafi og síðar námstjóri í stærðfræði. Það var ómetanlegur skóli fyrir ungan kennara að fá tækifæri til að taka þátt í því starfi sem fór fram á vegum skólarannsókardeildar, fyrst árin 1978–1983 og síðar skólaþróunardeildar 1990–1992.

Við sem tókum þátt í starfi skólarannsókna- /skólaþróunardeildanna á einn eða annan hátt erum öll komin af léttasta skeiði og því fannst okkur mikilvægt að rifja upp þetta starf núna og miðla því til skólasamfélagsins í dag.

Allt starfsumhverfi skóla og kennara er vissulega gjörbreytt frá því sem áður var en kennarar kalla eftir meiri stuðningi við starf sitt og hugsanlega má draga einhvern lærdóm af því sem gert var á þessu merkilega tímabili í íslenskri skólasögu.


Guðný Helga Gunnarsdóttir er kennari að mennt. Hún hefur skrifað námsefni í stærðfræði og lengi verið ráðgefandi um stærðfræðimenntun. Guðný hefur nýlátið af störfum sem lektor í stærðfræðimenntun við Menntavísindasvið Háskóla Íslands.


Aftur á aðalsíðu





Notkun snjalltækja í stærðfræðikennslu

Brynjar Marinó Ólafsson

 

Notkun hjálpargagna í stærðfræði er ekki ný af nálinni. Fyrir utan það sem hægt er að kalla hefðbundin verkfæri stærðfræðinnar eins og til dæmis reglustiku og hringfara þá hafa menn lengi vel reynt að nýta og búa til fleiri verkfæri eða hjálpartól til aðstoðar við útreikninga. Dæmi um slíkt eru til dæmis talnagrind, logaritmatöflur og vasareiknir, en frumgerð hans má rekja allt aftur til 17. aldar þegar Pascal smíðaði reiknivél til að hjálpa föður sínum sem vann við skattheimtu í Frakklandi (Valentine, 2014). Allt nýttist þetta til að einfalda vinnu, en þegar grafískir vasareiknar og heimilistölvan komu á markaðinn gáfust tækifæri til að skoða stærðfræðileg viðfangsefni á nýjan hátt og nýta þessi tæki til að auka skilning með hætti sem ekki var hægt áður eða þurfti a.m.k. miklar forsendur til að geta gert.

Nýjasta þróunin er spjaldtölvur og snjallsímar. Ekki aðeins urðu þessi tæki nánast strax almenningseign um leið og þau komu á markað, heldur hefur framboð af forritum fyrir þau aukist hratt eða frá 500 snjallforritum árið 2008 þegar AppStore opnaði til 2,2 milljóna snjallforrita árið 2017 (App Store (iOS), 2017). Inni í þessum fjölda er verulegur fjöldi af stærðfræðiforritum sem mörg hafa notið vinsælda.

Kostum spjaldtölva og snjallsíma í skólastarfi hefur verið haldið á lofti í umræðunni og jafnvel heilu skólarnir og bæjarfélögin varið miklum fjármunum til að kaupa þessi tæki handa nemendum (Kópavogsbær, 2015). Þá er rétt að staldra við og skoða hvort ávinningurinn sé sá sem ætlast er til. Hér verður ekki reynt að fjalla um allt sem þessi tæki hafa upp á að bjóða heldur reynt að beina sjónum að notkun og notkunarmöguleikum þeirra við stærðfræðikennslu. Einkum ætla ég að fjalla um þrenns konar notkunarmöguleika, það er leikjanotkun, notkun stærðfræðiforrita og námsumsjónarkerfi.

Leikir og smáforrit

Upphaf tölvuleikjabyltingar má rekja til ársins 1972 þegar tölvuleikurinn Pong kom á markað og var það fyrsti tölvuleikurinn sem náði almennri útbreiðslu til almennings. Á næstu árum komu tölvuleikir á borð við Space Invaders, Asteroids og Pacman og má segja að með þeim hafi tölvuleikjabylting hafist (History of video games, 2017). Fljótlega fóru menn að velta fyrir sér hvort tölvuleikir væru gagnlegir eða skaðlegir. Til eru rannsóknir sem hafa sýnt að spilun sérhæfðra tölvuleikja getur t.d. bætt viðbragðstíma hjá eldra fólki, árangur á þekkingarprófi í eðlisfræði, færni í verkefnum á sviði skurðaðgerða, flughæfni og ýmsa aðra þætti sem reyna á athygli og vinnsluminni (Novak, 2015). Í grein Tingir og fleiri (2017) er fjallað um áhrif snjalltækja (farsíma og spjaldtölva) á árangur í stærðfræði, lestri og náttúrufræði. Um er að ræða samantekt á nokkrum rannsóknum um efnið og kemur meðal annars fram að sumar rannsóknir bendi til þess að stærðfræðitölvuleikir á yngsta stigi leiði til lítillega betri námsárangurs hjá börnum, meðan aðrar rannsóknir sýna að áhrif forrita í snjalltækjum hafa takmörkuð áhrif á námsárangur (Tingir o.fl., 2017). Samkvæmt samantekt Tingir og félaga  hefur notkun snjalltækja áhrif til góðs á námsárangur í lestri en ekki jafn mikil áhrif í stærðfræði. Þess má þó geta að af þeim fjórtán rannsóknum sem voru greindar fjölluðu aðeins þrjár um áhrif snjalltækja á námsárangur í stærðfræði; flestar rannsóknirnar fjölluðu um tengsl við náttúrufræðikennslu eða alls átta rannsóknir.

Umfjöllun um námsleiki og gildi leikja á þroska og námi hjá börnum er ekki ný af nálinni og hafa fræðimenn á borð við Dewey, Piaget og Vygotsky fjallað um gildi leiks í námi þó að umfjöllum þeirra hafi eðlilega ekki náð til tölvuleikja. Því er ekki óeðlilegt að framleiðendur forrita, tölvuleikja og smáforrita telji eftirsóknarvert að framleiða forrit og leiki ætlaða til náms þar sem kennarar og foreldrar hafa tekið slíku opnum örmum samhliða nýrri tækni.

Ég ákvað að skoða fyrst vinsæla stærðfræðileiki og smáforrit fyrir spjaldtölvur. Leiðin sem ég valdi var að nota leitarvélina Google og leita annars vegar eftir best math apps og hins vegar best classroom math apps. Við fyrri leitina ákvað ég að velja fyrsta valmöguleikann sem ekki hafði endinguna com í vefslóð sinni og reyndist það vera heimasíða edutopia.org og heitið á greininni þar var Using Math Apps to Increase Understanding (Burns, 2017). Við seinni leitina ákvað ég að velja fyrsta valkost og var það heimasíða með heitið Teacherswithapps.com og grein á þeirri síðu sem var Top Ten Classroom Math Apps (Patel, 2012). Í framhaldinu ákvað ég að skoða forritin sem vísað var á og reyndi að flokka þau í annars vegar forrit sem þjálfa skilning á viðfangsefninu og hins vegar forrit sem eru þjálfun í afmörkuðum þáttum (e. drills). Af þeim 10 forritum sem vísað var á hjá edutopia.org fannst mér átta þeirra innihalda eingöngu endurteknaræfingar á afmörkuðum þáttum en í tveimur forritum var reynt að fá notanda til að skoða til dæmis gildi tölustafs í tugasæti eða vinna með talnalínu án þess að keppast við tíma eða stigafjölda. Við sömu flokkun á forritum á heimasíðu teacherswithapps.com fannst mér sex forrit falla í þann flokk að vera endurteknar æfingar, í einu forriti var lagt upp úr skilningi umfram kapp en þrjú forrit komust í hvorugan flokkinn hjá mér. Eitt vegna þess að það fannst ekki í AppStore og ekki á heimasíðu framleiðanda og tvö forrit virtust aðeins vera samansafn af útskýringum en kröfðust einskis af notandanum annars en að horfa á skjáinn. Aðeins eitt forrit, Operation Math, kom fyrir á báðum listunum og féll það í æfingaflokkinn hjá mér. Séu þessi nítján, að því er virðist vinsælu, smáforrit skoðuð sem ein heild þá voru þrettán (68%) sem gengu út á að keppast við tíma eða stig með endurtekningum, þrjú (16%) reyndu meira á skilning og skoðun frekar en kapp og önnur þrjú féllu utan þessarar flokkunar eins og fram hefur komið. Forritin sem ekki beindust að  kappi voru Number Line, Number Frames og Oh no! Fractions.

Mynd 1. Skjáskot úr Operation Math

Aðrar rannsóknir sýna svipaðar niðurstöður og könnun mín sem lýst er hér að ofan. Í grein Cayton-Hodges og samstarfsfólks (2015) voru vinsæl stærðfræðiforrit skoðuð á svipaðan hátt. Alls voru skoðuð 80 smáforrit tengd stærðfræði og kom meðal annars í ljós að þó svo að mörg þessara forrita innihéldu einhvers konar stigagjöf þá var stigagjöfin oft tengd tímatöku. Fæst forritin náðu að tengja saman efnisflokka stærðfræðinnar og reyndu flest forritin á einföld svör við stærðfræðilegum staðreyndum en ekkert forrit krafðist útskýringa frá notanda eða fékk hann til að skoða hvers vegna eitthvað virkaði eða virkaði ekki. Loks kom í ljós að í flestum forritunum var stærðfræðin sem birtist notendum rétt eða a.m.k. ekki röng, en þó voru þar einnig smáforrit sem beinlínis ýttu undir rangan eða takmarkaðan skilning á stærðfræðinni. Til dæmis var í einu forritinu verið að kenna notanda að leysa jöfnu með því að fá hann til að deila báðum megin með x þegar leysa átti jöfnuna x•x = x/3 og þannig fá svarið x = 1/3 sem var eini svarmöguleikinn sem gaf rétt svar en með þessu er útilokuð lausnin x = 0 sem einnig er lausn á upprunalegu jöfnunni (Cayton-Hodges o.fl., 2015).

Þó að óformleg könnun mín og rannsókn Cayton-Hodges og félaga á stærðfræðitengdum smáforritum hafi leitt í ljós einsleitni þeirra þá er það ekki nóg til að skera úr um gæði eða gagnsemi forritanna og skoðaði ég því í framhaldinu aðrar rannsóknir sem gerðar hafa verið á notkun smáforrita. Í fyrstu er rétt að nefna nokkra kosti sem fylgja notkun smáforrita en stærðfræðismáforrit geta í einhverjum tilvikum haft áhrif á árangur í stærðfræði og þá sér í lagi minnkað bilið milli getuminni og getumeiri nemenda (Zhang o.fl., 2015). Sem mögulega ástæðu fyrir því nefna Zhang og félagar að í mörgum smáforritum fær nemandi tíða endurgjöf á það sem hann er að gera en aðrar rannsóknir hafa einmitt sýnt fram á að tíð endurgjöf geti haft mikil áhrif á námsárangur, jafnvel meiri áhrif en lengri skóladagur, bekkjarstærð eða laun kennara (Zhang o.fl., 2010) og þá sérstaklega á námsárangur nemenda sem eiga í erfiðleikum með stærðfræði (Brosvic o.fl., 2006). Annað sem Zhang nefnir sem mögulega ástæðu fyrir bættum árangri er að í mörgum smáforritum hefur nemandi möguleika á að vinna í efni á eigin hraða. Það virðist þó ekki eiga við um þau forrit þar sem notandi þarf að keppa við tímann til að fá stig eða komast á næsta borð.

Við val á smáforriti eða stærðfræðileik sem á að nýtast nemanda til að bæta námsárangur virðist vera nauðsynlegt að hafa í huga hvort nemandinn sé að fá reglulega endurgjöf á árangur sinn og eins hvort nemandinn fái að vinna í efninu á sínum hraða eða hvort hann er að keppa við tímann. Margir stærðfræðileikir, sérstaklega í þeim flokki sem reyna að mestu á endurteknar æfingar, eru byggðir upp þannig að nemandi er að keppa við tíma. Slíkt er í andstöðu við það sem Zhang nefnir sem jákvæðan áhrifavald smáforrita þegar kemur að bættum námsárangri. Fleiri hafa fjallað um hraða og endurtekningar í stærðfræðikennslu. Jo Boaler, prófessor við Stanford háskóla, segir það vera hættulega sýn á stærðfræði að halda að styrkleiki í stærðfræði felist í því að vera fljótur að reikna eða leysa verkefni (Parker, 2015).  Ef nemandi nær ekki að halda í við tímann í slíkum leikjum gæti það haft áhrif á sjálfsmynd hans (Adams, 2017) og hugsanlega leitt til neikvæðs viðhorfs til stærðfræðinnar. Því má segja að þó tölvuleikir geti verið til margs gagnlegir, séu þeir rétt hannaðir, þá er rétt að hafa í huga hvað ber að varast þegar velja skal leik fyrir nemanda til að draga úr neikvæðum áhrifum sem einnig geta fylgt. Ef leikurinn þjálfar lítið annað en minni leikmannsins án þess að krefjast þess að hann velti fyrir sér efninu eða tengslum við aðra þætti stærðfræðinnar eða ef hann brýtur niður trú nemandans á eigin getu vegna þess að hann er ekki nógu fljótur að reikna þá gæti verið betra heima setið en af stað farið. Kannski er þá við hæfi að velta fyrir sér með hvaða öðrum hætti hægt er að nýta upplýsingatækni við kennslu í stærðfræði.

Forrit sem ekki eru leikir

Fyrir utan leikjatengd forrit og smáforrit með alla sína kosti og galla þá eru til annars konar forrit sem hægt er að nota í tengslum við stærðfræðikennslu í þeim tilgangi að bæta námsárangur eða dýpka skilning nemenda. Töflureiknar á borð við Excel eru kannski það fyrsta sem kemur upp í hugann enda er það forrit víða notað og vel þekkt. Möguleikar á notkun töflureikna við stærðfræðikennslu eru margir og ólíkt tölvuleikjum hefur nemandi möguleika á að skoða og velta fyrir sér ýmsum breytingum án þess að vera að keppast við stig eða tíma. Hægt er að nota töflureikninn til að setja upp myndrit og skoða hvernig þau breytast þegar ákveðnum gildum er breytt. Með sama hætti má skoða hvernig ein breyting hefur áhrif á miðsækni, eða hvernig breyting á verði gefur nýjan krónutöluafslátt miðað við sömu prósentu og margt fleira. Þá má einnig færa rök fyrir því að í gegnum töflureikna sé hægt að kenna grundvallaratriði í forritun, til dæmis rökskilyrði með „ef … þá“ setningum.

Hæfni í forritun er oft nefnd sem mikilvægt veganesti á 21. öldinni. Árið 2014 bættu Finnar inn kafla í stærðfræðihluta námskrár hjá sér sem tengist þrautalausnum og kallast „tölvunarhugsun“ (e. computational thinking (CT)) (Niemelä og Helevirta, 2017).  Segja má að tölvunarhugsun sé það ferli að skilgreina vandamál og setja lausnarferlið þannig fram að bæði manneskja og tölva geti fylgt ferlinu. Forritun snýst einmitt að miklu leyti um að leysa vandamál með því að brjóta það niður í smærri vandamál. Höfundar nefna einnig að sumir vilji ganga svo langt að líta á forritun sem framlengingu af algebru og því nauðsynlegt að kenna þetta tvennt saman. Fyrir yngri nemendur eru til forritunarmál sem gera þeim kleift að læra undirstöðuatriði í forritun með mjög myndrænum hætti. Forrit á borð við Scratch hafa verið vinsæl upp á síðkastið en einnig má nefna vefsíður eins og code.org sem setja upp litlar þrautir fyrir nemendur sem þeir eiga að leysa með myndrænni forritun. Sumar þrautirnar tengjast stærðfræði beint, til dæmis þraut þar sem notandi á að hjálpa Elsu, úr teiknimyndinni Frozen, að skauta ákveðnar leiðir á svelli og þarf nemandi meðal annars að glíma við hornastærðir til að leysa verkefnið (Mynd 2).

Mynd 2. Skjáskot frá code.org.

Á efri stigum má svo fá nemendur til að nota önnur forritunarmál og nefna Niemelä og Helevirta (2017) til dæmis Python í því samhengi sem hentugt byrjendaforrit sem nemendur geta nýtt til að kynnast breytum og föllum, nokkru sem er mikið notað í algebru á unglinga- og framhaldsskólastigi.

Annar möguleiki á að nota upplýsingatækni og forrit til að hjálpa nemendum að dýpka þekkingu sína og skilning á stærðfræði er að nota forrit á borð við GeoGebru. Forritið er ókeypis, bæði aðgengilegt á netinu sem og sem forrit í spjaldtölvur og er sérhannað til að skoða ýmsa þætti stærðfræðinnar. Notkun GeoGebru forrita gengur ekki út á að keppast við tíma eða safna stigum heldur er forritið sérlega hentugt til að útbúa verkefni til að vega og meta, skoða ákveðin viðfangsefni eða ólíka þætti stærðfræðinnar hvort heldur sem er algebra eða rúmfræði. Hægt er að benda á að minnsta kosti þrjár ólíkar leiðir til að nota GeoGebru við stærðfræðikennslu.

  1. Kennari útbýr skrár með eins konar sýniverkefnum. Auðvelt er að setja verkefnin fram með rennistiku fyrir nemendur, þannig að þeir geti prófað og skoðað til dæmis hvernig breyting á hallatölu fyrir beina línu hefur áhrif á halla grafs og jöfnu línunnar (Mynd 3). Annars konar verkefni væri til dæmis að nota rennistiku til að fletja út þrívíð form til að sjá úr hvaða formum yfirborðið er gert og reikna í framhaldinu yfirborðsflatarmál þrívíða formsins. Í þeim tilvikum sem þessi leið er farin er æskilegt að kennari fylgi eftir rannsóknum nemenda með verkefni eða umræðum. Í fyrra verkefninu sem lýst er er til dæmis hægt að renna stikunni frá -4 til 4 og sýnir GeoGebra hvernig halli og jafna línunnar breytist við það. Í framhaldi má meta ályktunarhæfni nemanda og fá þá til að velta fyrir sér hvernig jafna beinnar línu líti út ef hallatalan væri til dæmis 5 eða 10, eða fá hann til að lýsa því hvað einkennir beina línu með hallatölu 0.

    Mynd 3: Skjáskot af verefni úr GeoGebru.
  2. Nemandi vinnur í GeoGebru eftir fyrirmælum eða notar forritið til að ná fram ákveðnum markmiðum, til dæmis að búa til þríhyrning og ferhyrning sem hafa sama flatarmál eða teiknar mynd sem speglast um færanlega línu til að skoða hvernig fjarlægð myndar frá speglunarlínu hefur áhrif á speglunina. Til að vinna þess konar verkefni þarf að undirbúa nemendur og leyfa þeim að kynnast forritunu áður en lagt er af stað í þyngri vinnu. Fyrir nemendur með litla reynslu af forritinu þyrfti að hafa ítarlegar leiðbeiningar til að nemendur finni ekki til vanmáttar vegna kunnáttuleysis og þrói þá með sér neikvætt viðhorf til stærðfræðinnar eða missi trú á sjálfan sig líkt og rætt var um að gæti gerst þegar nemandi ræður ekki við hraðaútreikninga í tölvuleik.
  3. Hægt er að þjálfa hugtakanotkun og kanna skilning nemenda á ákveðnu efni með því að láta nemendur tala inn á þögul myndbönd. Kennari útbýr þá eða nálgast stutt myndbönd sem eru gerð með aðstoð GeoGebru og sýna til dæmis snertil annars stigs grafs færast eftir punktum á fleygboga. Það er síðan lagt í hendur nemenda að tala inn á myndbandið og útskýra það sem þar er að gerast. Hugmyndin mun vera komin frá Freyju Hreinsdóttur, dósents við Háskóla Íslands, litháíska stærðfræðikennaranum Rokas Tamošiûnas og sænska prófessornum Thomas Lingefjärd. Bjarnheiður Kristinsdóttir, doktorsnemi við Menntavísindasvið HÍ, rannsakar nú þessa nálgun og telur hún að umræður ásamt svona vinnu geti stuðlað að því að nemendur skilji betur þau hugtök sem unnið er með og sjái þau frá öðru sjónarhorni (Háskóli Íslands, 2017).

Hér mætti eflaust tína til fleiri forrit og snjallforrit sem ýmist eru sérhönnuð til að kenna stærðfræði eða eru einhverra hluta vegna sérlega vel til þess fallin að hjálpa nemendum að skoða og skilja undraheima stærðfræðinnar. Ég læt hins vegar duga að nefna þau sem er fjallað um hér að ofan en ljóst er að það er hægt að nýta upplýsingatæknina til að skoða stærðfræði og læra hana með öðrum hætti en í gegnum tölvuleiki.

Námsumsjónarkerfi – námsmatskerfi

Í lok þessarar samantektar vil ég nefna námsumsjónarkerfi og mögulega notkun þeirra við stærðfræðikennslu. Hér á ég ekki við umsjónarkerfi eins og Blackboard eða Moodle heldur ætla ég að beina sjónum mínum að kerfum sem mætti kalla stafræn námsmatskerfi (e. digital formative assessment tools) eins og til dæmis Classkick, Costner og AMC Anywhere. Allt eru þetta umsjónarkerfi sem gera kennara kleift að fylgjast með hvað nemandi er að gera auk þess sem kerfin gefa kennara til kynna hvort nemandi þurfi aðstoð eða hvort hann sé að vinna villulaust í námsefninu. Ýmist eru kerfin þannig að viðvörunarmerki koma upp hjá kennaranum ef nemandi er aðgerðarlaus eða að svara rangt en einnig er möguleiki fyrir nemanda að gefa kennaranum merki um að hann þurfi aðstoð (Mynd 4). Með þessu fær kennarinn góða yfirsýn og getur annað hvort farið til nemenda sem stranda eða tekið umræðu með bekknum ef margir eru að stranda í sama efni eða ef margir eru að „rétta upp hönd“ í tímanum.

Í einni rannsókn var fylgst með kennurum nota forritið AMC Anywhere til að meta stöðu og framvindu nemenda í stærðfræði. Niðurstöður gáfu til kynna ánægju kennara með forritið og sögðu þeir að það gæfi góða yfirsýn um hvar skórinn kreppir hjá nemendum og eins hjálpaði það þeim við að mynda litla námshópa með hliðsjón því hvaða nemendur þyrftu mestu aðstoð. Rétt er samt að taka fram að kennarar nefndu einnig að notkun slíkra forrita og úrvinnsla væri tímafrek fyrir kennara við undirbúining kennslu (Martin o.fl., 2016).

Mynd 4. Skjáskot úr Classkick

Rannsóknir hafa sýnt að leiðsagnarmat (e. formative assessment) getur haft mikil og jákvæð áhrif á nám allt frá yngsta stigi upp á háskólastig (Black og William, 1998). Sama kom fram í kaflanum um leiki og smáforrit, það er að tíð endurgjöf getur haft mikil áhrif á námsárangur en þó einkum og sér í lagi ef nemandinn nýtir sér hana til að bæta árangur sinn. Námsmatskerfi sem gera kennara kleift að fylgjast með, greina og síðast en ekki síst að bregðast við þegar nemandi lendir í vandræðum verður þá að teljast vænlegur kostur þegar kemur að því að nýta upplýsingatækni í kennslu. Í Classkick forritinu geta nemendur til dæmis tengst kennarasvæði þar sem kennari getur sett inn verkefni fyrir nemendur að leysa. Kennarinn getur svo fylgst með vinnu nemenda og ef þörf er á þá getur kennarinn tengst tölvu nemandans og skrifað þar inn leiðbeiningar eða aðstoðað hann við að komast yfir þröskuldinn. Þessi möguleiki býður upp á þægilega leið til leiðsagnarmats auk þess sem hægt er að gera námið einstaklingsmiðaðra en ella þar sem kennari getur útdeilt nýjum verkefnum rafrænt til nemenda eftir því hvernig honum er að ganga.

Lokaorð

Spjaldtölvur og snjallsímar eru  mikið í umræðunni nú á tímum. Fyrstu tölvuleikirnir sem komu á markað um miðja síðustu öld voru hugsaðir til afþreyingar en í dag er mikil gróska í tölvuleikjum sem eru markaðssettir sem námsleikir.

Rannsóknir hafa sýnt að tölvuleikir geta verið til margs gagnlegir en við val á stærðfræðileikjum þarf að varast að þeir séu of einhæfir eða að kappið sé svo mikið að það sé á kostnað lærdómsins sem leikurinn á að skila. Margir vinsælir stærðfræðileikir leggja áherslu á hraða og endurtekningu en æskilegra er að nemandi fái að vinna á sínum hraða og að hann fái tíða endurgjöf á árangur sinn. Flestir leikir virkja notendur ekki til merkingarbærrar stærðfræðiiðju.

Einnig er hægt að rannsaka stærðfræði með aðstoð töflureikna eins og Excel eða forrita á borð við GeoGebru. Bæði þessi forrit bjóða upp á margar mismunandi leiðir til að nálgast viðfangsefnið þó svo að Excel sé almennur hugbúnaður en GeoGebra sérhannað til merkingarbærs stærðfræðináms.

Þá njóta námsumsjónarkerfi eða stafræn námsmatskerfi vaxandi vinsælda. Þau bjóða kennurum bæði upp á að safna gögnum um framvindu nemenda í náminu og eins eru sum forritin með þann möguleika að kennari geti gripið inn í vinnu nemenda með því að tengjast tölvu hans. Þannig er bæði hægt að gera námið einstaklingsmiðaðra og eins verður leiðsagnarmat ráðandi í námsferlinu.

Upplýsingatækni og snjalltæki bjóða upp á marga möguleika í stærðfræðikennslu og námi. Allar líkur eru á því að tækninni muni áfram fleygja fram og nauðsynlegt að kennarar og menntayfirvöld taki þátt í að fylgja þeirri þróun, en við innleiðinguna á nýrri tækni hlýtur aðalspurningin alltaf að vera: „Hvaða gagn er að henni fyrir nemendur?“ eða „Hvernig stuðlar nýja tæknin að betra námi?“

Heimildaskrá

Adams, C. (2017, 22. september). The disadvantages of using games as a learning tool. Sótt af https://itstillworks.com/12328164/the-disadvantages-of-using-games-as-a-learning-tool

App Store (iOS). (2017, 14. desember). Wikipedia. Sótt 15. desember af https://en.wikipedia.org/wiki/App_Store_(iOS)

Black, P. og William, D. (1998). Inside the black box: Raising standards through classroom assessment. PHI DELTA KAPPAN. Sótt af http://michiganassessmentconsortium.org/sites/default/files/MAC-Resources-BlackBox.pdf

Brosvic, G. M., Dihoff, R. E., Epstein, M. L., og Cook, M. L. (2006). Feedback facilitates the acquisition and retention of numerical fact series by elementary school students with mathematics learning disabilities. Psychological Record, 56(1), 35. Sótt af https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF03395536.pdf

Burns, M. (2017, 18. apríl). Using math apps to increase understanding. Sótt af https://www.edutopia.org/blog/10-apps-for-math-fluency-monica-burns

Cayton-Hodges, G. A., Feng, G. og Xingyu, P. (2015). Tablet-based math assessment: What can we learn from math apps? Journal of Educational Technology & Society, 18(2), 3‒20. Sótt af http://web.b.ebscohost.com/ehost/detail/detail?vid=0&sid=fededd82-58bd-471d-8a6b-c3d0afa0319f%40sessionmgr102&bdata=JnNpdGU9ZWhvc3QtbGl2ZQ%3d%3d#AN=102557856&db=aph

Háskóli Íslands. (2017, 7. desember). Hljóðlaus myndbönd henta vel í stærðfræðikennslu. Sótt af https://www.hi.is/frettir/hljodlaus_myndbond_henta_vel_i_staerdfraedikennslu

History of video games (2017, 25. nóvember). Wikipedia. Sótt 4. desember 2017 af https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_video_games

Khalil, M., Sultana, N. og Khalil, U. (2017), Exploration of Mathematical Thinking and its Development through Geogebra. Journal of Educational Research, 20(1), 83‒99. Sótt af https://search.proquest.com/docview/1924243515/fulltextPDF/D68B0D0CA0554ACCPQ/4?accountid=27513

Kópavogsbær. (2015, 11. júní). Spjaldtölvur afhentar í Kópavogi. Sótt af https://www.kopavogur.is/is/frettir-tilkynningar/spjaldtolvur-afhentar-i-kopavogi

Martin, C. S., Polly, D., Wang, C., Lambert, R. og Pugalee, D. K. (2016). Perspective and practices of elementary teachers using an internet-based formative assessment tool: The case of assessing mathematics concepts. The International Journal for Technology in Mathematics Education, 23(1), 3‒11.  Sótt af https://search.proquest.com/docview/1802217154/fulltextPDF/36EDE157BD914D84PQ/3?accountid=27513

Niemelä, P.S. og Helevirta, M. (2017). K-12 Curriculum Research: The Chicken and the Egg of Math-aided ICT Teaching. International Journal of Modern Education and Computer Science, 1, 1‒14. Sótt af https://search.proquest.com/docview/1886772489/fulltextPDF/A6018993DE2C42F1PQ/2?accountid=27513

Novak, E. og Tassell, J. (2015). Using video game play to improve education-majors’ mathematical performance: An experimental study. Computers in Human Behavior, 53, 124‒130.  Sótt af  https://ac.els-cdn.com/S0747563215300121/1-s2.0-S0747563215300121-main.pdf?_tid=768d42a6-d8d8-11e7-89ab-00000aacb35f&acdnat=1512381168_2cb87826ae30e7ac082377c772598fe8

Parker, Cl. B. (2015, 29. janúar). Learn math without fear, Stanford expert says. Sótt af https://news.stanford.edu/2015/01/29/math-learning-boaler-012915/

Patel, G. (2012, 24. apríl). Top ten classroom math apps. Sótt af https://www.teacherswithapps.com/top-ten-classroom-math-apps-2/

Tingir, S., Cavalazoglu, B., Caliskan, O., Koklu, O. og Intepe-Tingir, S. (2017). Effects of mobile devices on K–12 students’ achievement: a meta-analysis. Journal of Computer Assisted Learning, 33, 355‒369. Sótt af http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/jcal.12184/epdf

Valentine, N. (2014, 24. mars). The history of the calculator. Sótt af http://www.thecalculatorsite.com/articles/units/history-of-the-calculator.php?page=2

Zhang, M., Trussell, R. P., Gallegos, B. og Asam, R. R. (2015). Using math apps for improving student learning: an exploratory study in an inclusive fourth grade classroom. TechTrends, 59(2), 32‒39. Sótt af https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2Fs11528-015-0837-y.pdf


Brynjar Marinó Ólafsson er grunnskólakennari í Reykjavík þar sem hann kennir m.a. stærðfræði á unglingastigi.




Stærðfræði með ungum börnum – Nálgun og leiðir í Krikaskóla

Kristjana Steinþórsdóttir


Í þessari grein er sagt frá stærðfræðikennslu í Krikaskóla og þá sérstaklega þeirri nálgun sem notuð er til að byggja upp talna- og aðgerðaskilning barna.

Stærðfræðikennsla í Krikaskóla byggir á hugmyndafræðinni Stærðfræðikennsla byggð á skilningi barna (SKSB) eða Cognitively Guided Instruction (CGI) þegar unnið er með talna- og aðgerðaskilning. SKSB fellur undir ramma hugsmíðahyggjunnar. Dr. Ólöf Björg Steinþórsdóttir sem starfar við Háskóla Norður-Iowa er í samstarfi við Krikaskóla og hefur stýrt fræðslu til kennara og starfsmanna skólans ásamt verkefnastjóra í stærðfræði í Krikaskóla, Kristjönu Steinþórsdóttur. Samstarfið hófst skólaárið 2009-10 og hefur staðið síðan.

Stærðfræðikennslan er byggð á hugsmíðahyggjunni (constructivism). Hugsmíðahyggjan leggur áherslu á að nám er uppgötvun og sköpun. Verkefnin sem börnin vinna með eru opin og áherslan er á að vinna með tengsl sem byggja upp skilning og þekkingu. Stærðfræðiverkefnin eru markvisst valin til að byggja á þeirri þekkingu sem börnin búa þegar yfir á stærðfræði. Hlutverk kennarans felst í að skapa námsaðstæður fyrir börnin með markvissu verkefnavali og örvandi námsumhverfi. Kennarinn er sérfræðingur í að skilja hugsun barnanna, hann hlustar á þau og notar þekkinguna til að skapa aðstæður sem stuðla að auknum skilningi og áframhaldandi námi. Segja má að hann aðstoði börnin við að koma skipulagi á hugsun sína og skilning.

Stærðfræðinám sem byggir á hugsmíðahyggjunni er nám sem

  • hvetur til hugsmíða
  • hvetur til rökstuðnings
  • byggir upp ólíka nálgun og leiðir til lausna
  • hvetur til umræðna og skoðanaskipta

Almenn markmið stærðfræðinnar eru að

  • börnin læri að takast á við stærðfræðileg viðfangsefni og finna lausnir á þeim
  • börn geti fylgt einfaldri röksemdafærslu
  • börn geti gagnrýnt eigin röksemdafærslu og annarra
  • börn öðlist hæfni í stærðfræðilegri orðræðu
  • auka hugtakanotkun barna
  • börn vinni með öðrum nemendum og nýti stærðfræðileg hugtök til að útskýra hugsun sína
  • draga fram þá óformlegu þekkingu sem börn búa yfir og nýta hana við áður óþekktar aðstæður
  • öðlast jákvæð viðhorf til stærðfræðinnar

Stærðfræðikennsla byggð á skilningi barna setur ramma um þyngdarstig þrauta sem fjalla um aðgerðirnar fjórar, hvernig skilningur barna þróast og hvernig lausnarleiðir barna spegla skilning þeirra. Rannsóknir í tengslum við SKSB hafa sýnt þrjú þroskastig í lausnaleiðum barna á þrautum tengdum samlagningu, frádrætti, margföldun og deilingu. Þessi þroskastig eru:

1) Hlutbundið líkan

  1. Barnið byggir líkan sem fylgir atburðarás verkefnisins. Helsta einkenni þessa stigs er að allar stærðir í þrautinni eru sjáanlegar og nemandinn fylgir atburðarás þrautarinnar. Annað einkenni á þessu stigi er að nemendur hugsa eitt skref í einu og geta ekki ályktað um hvaða áhrif fyrsta skref þeirra í lausnaleiðinni hefur á heildarlausnina.
  2. Flest 4, 5 og 6 ára börn eru á þessi stigi og einnig mörg 7 ára börn
  3. Skoðum þrautina “Nína á 3 bíla. Unnur vinkona hennar gaf henni 5 bíla. Hvað á Nína marga bíla alls? Nemandinn telur 1, 2, 3 kubba til að sýna 3 bíla. Síðan tekur hann 1, 2, 3, 4, 5 kubba til að sýna 5 bíla. Barnið setur alla kubbana saman og telur allt saman 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og segir að Nína eigi 8 bíla.

2) Talning

  1. Barnið notar talningu til að finna lausnir. Helsta einkenni þessa þroskastigs er að barnið getur nú geymt eina stærð í huganum. Það leysir þrautina með því að telja áfram frá upphaflegri stærð eða telja niður frá stærðinni.
  2. Hvernig barnið telur fer eftir þrautinni sem það er að leysa.
  3. Skoðum þrautina “Nína á 3 bíla. Unnur vinkona hennar gaf henni 5 bíla. Hvað á Nína marga bíla alls? Barnið segir 3 bílar og hugsar töluna og telur áfram 4, 5 6, 7, 8 og segir 8 bílar. Barnið lyftir oft fingri fyrir hverja talningu til að vita hvenær það hefur talið 5 til viðbótar.

3) Talnastaðreyndir

  1. Barnið nýtir sér þær talnastaðreyndir sem það þekkir eins og 5+5 er 10. Helsta einkenni þessa þroskastigs er að barnið getur nýtt sér talnasambönd. Skilningur þess á stærð hefur þroskast og það getur hugsað um stærð á mismunandi hátt. Á þessu stigi er barnið farið að skilja hvernig nýta má víxlreglu og tengireglu í samlagningu.
  2. Þegar tölur í þrautum stækka þá nýtir barnið sér reiknirit til að finna lausnir á þrautum á þessu stigi.
  3. Skoðum þrautina “Nína á 3 bíla. Unnur vinkona hennar gaf henni 5 bíla. Hvað á Nína marga bíla alls? Barnið segir “ég veit að það eru 8, af því að ég veit að 3 og 3 eru 6 og 5 er 2 meira en 3 svo 6 og 2 er 8, Nína á 8 bíla”. Barnið nýtir sér talnaþekkingu sína, það er að 5=3+2 og að 3+3=6. Ef við skoðum þetta enn nánar þá má sjá hvernig barnið notar tengireglu samlagningar 3+5=3+(3+2)=(3+3)+2=6+2=8.

Helstu markmið stærðfræðinnar, tölur og aðgerðir með náttúrlegum tölum eru að börn

  • sýni skilning á náttúrlegum tölum
  • geti lesið og skrifað tölur
  • öðlist skilning á sambandi magns og talna
  • geti raðað saman náttúrulegum tölum og borið saman
  • kunni aðferð til að telja fjölda hluta í safni
  • sýni skiling á tugakerfinu sem sætiskerfi
  • geti notað fjölbreyttar aðferðir við samlagningu og frádrátt náttúrulegra talna
  • geti notað fjölbreyttar aðferðir við margföldun og deilingu náttúrulegra talna
  • sýni skilning á tölum og stærðum þannig að þau geti lagt mat á útkomu aðgerðar
  • börn sýni skilning á að samlagning og frádráttur eru andhverfar aðgerðir
  • börn sýni skilning á að margföldun og deiling eru andhverfar aðgerðir
  • börn sýni leikni í hugareikningi

Í Krikaskóla er unnið með talna- og aðgerðaskilning með tveggja til fimm ára börnum. Þá er fyrst og fremst unnið óformlega með talnahugtök og stærðir til að byggja grunn sem nýtist þeim þegar sá tími kemur að þau takist á við formlegri verkefni.

Með yngstu börnunum er stærðfræðin unnin í gegnum sögulestur, söngva, talningu og í ýmsum leikjum. Leikirnir og verkefnin verða flóknari eftir því sem börnin eldast og þroskast.

Vinna með þriggja og fjögurra ára börnum byggist mikið upp á að telja í hópa, vinna með einkvæma svörun og nákvæmni í talnarunum. Námið felst í ýmsum leikjum úti sem inni og í spilum. Samhliða auknum skilningi barnanna verða leikir og spil flóknari til að örva hugsun og leikni.

Talning á þremur

Tvö hús, tvö tré, tveir krakkar

Mikilvægur þáttur í talningu er að telja saman fjölda í hóp (einkvæm svörun).

Talið er með mismunandi hætti. Nemendur þjálfast í að útskýra hvernig og af hverju form eru eins eða öðruvísi. Börnin eru þjálfuð í að hugsa á ýmsan hátt um form.

Í fimm ára deildinni eru viðfangsefnin flóknari. Auk þess sem unnið er áfram með það sem börnin hafa þegar lært er augunum beint að skilningi á aðgerðunum samlagningu, frádrætti, margföldun og deilingu ásamt þrautum. Þrautirnar auka almennan talnaskilning barna. Verkefnin er opin og börnin kljást við þrautalausnir þar sem þau eru oft að nýta þá þekkingu sem þau búa yfir við nýjar óþekktar aðstæður. Áhersla er lögð á að börn fái tækifæri til að tjá lausnaleiðir sínar og bera saman við aðrar. Við tjáninguna öðlast þau dýpri skilning á tölum og aðgerðum og þeim hugtökum sem unnið er með. Með tjáningunni er einnig verið að endurraða þekkingunni til að mynda dýpri og “stærri” þekkingarheild. Þau koma skipulagi á hugsun sína.

Tveir jólasveinar voru á leið til byggða, fyrst hittu þeir tvo tröllastráka síðan hittu þeir þrjá álfa. Allir ætluðu þeir að vera samferða til byggða. Hvað voru margir í hópnum?

Það er bæði krefjandi og skemmtilegt að spila og gefur börnum tækifæri til að æfa sig í verkefnum sem stuðla að þroska þeirra, bæði félagslegum og vitsmunalegum.

Sjö endur voru að synda á tjörninni. Þegar ég fór heim flugu fjórar endur í burtu. Hvað voru margar endur eftir á tjörninni?

Ein kýr er með 4 spena, hvað eru fimm kýr með marga spena?

Ég á fimm poka og það eru fimm kúlur í hverjum poka.
Hvað á ég þá margar kúlur?

Í útikennslu er börnunum boðið upp á skapandi umhverfi og fjölbreyttan efnivið ásamt því að börnin uppgötvi nýja möguleika og eigin lausnir.

Þrautirnar byggjum við upp á okkar reynsluheimi og setjum okkur sjálf sem persónur í sögunum. Við tölum um lausnaleiðirnar og útskýrum ólíkar leiðir hvert fyrir öðru. Allt þetta eflir þekkingu barnanna á tölum og aðgerðum, gefur þeim dýrmæta reynslu og er mikilvæg undirstaða fyrir stærðfræðinám í 1. bekk.

Hluti af sérstöðu Krikaskóla er samfella í leik og námi barna ásamt samkennslu árganga og því gerum við því góð skil á degi stærðfræðinnar. Börn á aldrinum fjögurra til níu ára blandast í hópa og vinna saman á stöðvum. Verkefnin eru fjölbreytt en byggjast á samvinnu þar sem eldri börn leiða hóp yngri barna.

Stærðfræði og íþróttir. Hvað er skemmtilegra?

Speglun.

Samvinna í vísindum.

Þróaðri byggingar krefjast nýrra lausnaleiða sem byggjast á fyrri reynslu og samvinnu barnanna.

Það er mat þeirra kennara sem að verkefninu koma að þetta sé afar skemmtilegt og gagnlegt nám þar sem börnin eru áhugasöm og skapandi. Sköpun og hugsmíð er eitt af aðalsmerkjum leikskólans og því ánægjulegt að fá að vinna með stærðfræði sem byggir á því.

Þeir sem áhuga hafa að kynna sér þá nálgun sem við í Krikaskóla vinnum eftir er velkomið að hafa samband við okkur.


Kristjana er leikskólakennari í Krikaskóla í Mosfellsbæ og hefur á liðnum árum leitt stærðfræðiverkefni með börnum á aldrinum tveggja til níu ára í skólanum. Kristjana hefur sótt ráðstefnur í Bandaríkjunum til að auka þekkingu sína og miðla reynslu um stærðfræði byggða á skilningi barna eða Cognitively Guided Instruction.