Brýnt er að breyta fjárveitingum til skóla í anda menntunar fyrir alla

Anna Magnea Hreinsdóttir og Þorsteinn Hjartarson

 

Síðastliðið vor skrifuðu greinarhöfundar greinina Lærdómssamfélag og samræmd próf en þá höfðu samræmdu könnunarprófin verið til umræðu í fjölmiðlum. Í niðurlagi greinarinnar var rætt um mikilvægi dreifðrar forystu, styðjandi samvinnu og öflugrar starfsþróunar kennara og skólastjórnenda í innleiðingu á breytingum. Samábyrgð skóla, sveitarfélaga, kennarasamtaka, háskóla og menntamálayfirvalda skiptir einnig sköpum í skólaþróun hér á landi og bættum námsárangri og líðan nemenda.  Því ber að fagna umræðufundarröð sem mennta- og menningarmálaráðuneytið hefur staðið fyrir í haust um mótun menntastefnu Íslands til ársins 2030. Eitt af markmiðum menntastefnu verður alltaf að tryggja að allir í skólasamfélaginu líti á skólastarf án aðgreiningar sem grundvöll gæðamenntunar fyrir alla nemendur í samræmi við alþjóðlegar skuldbindingar.

Í áðurnefndri grein kom fram að samræmd könnunarpróf samrýmist illa stefnunni um skóla án aðgreiningar. Ef laga á námið að margbreyttum þörfum nemenda getur ekki verið réttmætt að mæla árangur þess á samræmdum mælikvarða. Ætla verður að skrifleg samræmd próf henti illa sem námsmat fyrir nemendur með annað móðurmál en íslensku og nemendur með leshömlun. Þessir nemendur hafa þvert á móti ríka þörf fyrir einstaklingsmiðað nám, sveigjanlega kennsluhætti og námsmat sem metur hæfni á þeirra eigin forsendum og stuðlar að góðum námsárangri, félagsfærni og sjálfstrausti. Þannig má færa rök fyrir því að samræmdu prófin, hið opinbera námsmatstæki til margra ára, hafi beinlínis unnið gegn skóla fyrir alla. En hafa fleiri atriði, sem skólarnir hafa lítið um að segja, unnið gegn skóla fyrir alla?

Bent var á í skýrslunni Menntun fyrir alla á Íslandi, sem kynnir úttekt Evrópumiðstöðvar um skóla fyrir alla, að núverandi form fjárveitinga til skóla hafi unnið gegn hugmyndafræðinni um menntun fyrir alla, þ.e.a.s. að það taki ekki nógu mikið mið af jafnræði, skilvirkni og hagkvæmni og að fjárveitingavenjur auðveldi ekki starfsfólki skóla að veita menntun án aðgreiningar. Ljóst er að efling skólastarfs sem tekur mið af þörfum allra nemenda kallar á ítarlega skoðun margra þátta og þar er alls ekki nóg að horfa á skólastarfið heldur einnig á þá faglegu og fjárhagslegu umgjörð sem stjórnvöld hafa búið skólunum til margra ára. Hér verður leitast við að leggja nokkur lóð á vogarskálar þeirrar umræðu.

Fjárhagslegar forsendur menntunar fyrir alla

Fjármögnun skólakerfis án aðgreiningar snýst um fjögur lykilatriði sem eru:

  • að koma í veg fyrir þann ójöfnuð sem kostnaðarsamar aðgreinandi aðgerðir fela í sér
  • að styðja við samfélagslega ábyrgð skóla á menntun fyrir alla með því að hvetja til skólaþróunar
  • að byggja upp þekkingu innan menntakerfisins á skapandi og sveigjanlegu námsumhverfi
  • að þróa gegnsætt og ábyrgt menntakerfi fyrir alla nemendur

Þegar rætt er um fjármögnun skóla fyrir alla er nauðsynlegt að horfa til þess hvernig fjárveitingar geta komið í veg fyrir aðgreinandi þætti, en hefur það verið gert? Með því að grundvalla fjárveitingarvenjur sveitarfélaga og jöfnunarsjóðs á fáum og aðgreinandi þáttum, svo sem greiningum á einstaklingsbundnum sérþörfum, má efast um verið sé að vinna í samræmi við hugmyndafræðina um skóla fyrir alla. Hér á landi hafa fjárveitingar til skóla einkum verið miðaðar við greiningar á nemendum  sem hafa of víða stuðlað að greiningaráráttu og mikilli fjölgun á sérkennslutímum í stað þess að tryggja nægt rekstrarfé í skólastarfið þar sem skólunum sjálfum er falin ábyrgð á skynsamlegri notkun á fjármagninu. Þannig væri gefið meira svigrúm til að nota almennar fjárveitingar á sveigjanlegri hátt með þróun stoðkerfis sem vinnur í anda snemmtækrar íhlutunar og hugmyndafræði lærdómssamfélagsins. Með því ætti að vera auðveldara að styrkja einstaklingsmiðaða og sveigjanlega kennsluhætti, faglegt samstarf, teymiskennslu og falla þannig frá einstaklingsmiðaðri sérkennslunálgun sem hefur tröllriðið íslensku skólastarfi. Lykilatriði í því er að leggja áherslu á lifandi lærdómssamfélag innan skólans, en einnig á milli skóla, skólastiga, skólaþjónustu sveitarfélaga og háskóla.

Fjármögnun einstaklingsmiðaðrar sérkennslu getur dregið úr sjálfræði og valdeflingu skóla og komið í veg fyrir sveigjanlegt einstaklingsmiðað nám allra nemenda. Með því að nálgast fjárveitingar hins opinbera á allt annan hátt, þ.e. að binda fjármagn í auknum mæli við þróun lærdómssamfélags skóla er frekar verið að ýta undir frumkvæði, samstarf og sjálfræði þeirra sem þar starfa. Slíkt fyrirkomulag ætti að valdefla kennara og skólastjórnendur til að þróa starfshætti sína í þá átt að allir nemendur finni að þeir tilheyri skólasamfélaginu þar sem gildin áhugi, samvinna, umburðarlyndi og vellíðan eru fyrirferðarmikil.

Faglegar forsendur menntunar fyrir alla

Til að auðvelda kennurum, skólastjórnendum og öðru starfsfólki skóla að innleiða sameiginleg gildi og menntun fyrir alla þarf að styðja vel við skólana og vinna markvisst að valdeflingu allra starfsmanna svo að hægt sé að bregðast við áhuga og margvíslegum þörfum nemenda. Huga þarf vel að grunn-, og símenntun starfsfólks þar sem ígrundun, jafningjafræðslu og handleiðslu er gefið vægi. Allir þessir þættir ættu að auðvelda skólum að koma til móts við það sem fram kemur í aðalnámskrám skólastiganna þriggja. Skólarnir eiga að leitast við að haga störfum sínum í fyllsta samræmi við félagslega stöðu og þarfir nemenda. Menntun er ævilangt ferli og í aðalnámskrám er undirstrikað að skólarnir styðji vel við námshvöt og námsgleði nemenda og stuðli þannig að menntun þeirra til framtíðar. Sterk tengsl eru milli náms án aðgreiningar og virkrar samfélagslegrar þátttöku. Nám án aðgreiningar eykur möguleika barna og ungmenna til samskipta við jafningja og að vinátta myndist milli nemenda óháð kyni, þjóðerni eða fötlun. Jafnframt er þátttaka sem flestra í almennum skólum einn af þeim þáttum sem auka möguleika fatlaðs fólks til atvinnuþátttöku og góðrar aðlögunar í framhaldsskóla. Fatlaðir nemendur sem ganga í almennan skóla eru líklegri til að verða fjárhagslega sjálfstæðir, virkir í tómstundum og til að rækta vináttusambönd sem endast oft út lífið. Augljóst er að gera þarf allt sem í okkar valdi stendur til að skapa nemendum sem jöfnust tækifæri til náms og félagslegrar þátttöku.

Að stuðla að sjálfræði skóla og sveigjanlegu námsumhverfi

Hægt er að stuðla að skólaþróun og sjálfræði skóla með því að setja inn fjárhagslega hvata sem styðja við námsumhverfi í anda lærdómssamfélagsins og henta betur fjölbreyttum nemendahópi. Stjórnendur og kennarar ættu þá auðveldara með að nýta fjármagnið á sveigjanlegan hátt og láta það styðja við fjölbreytta kennsluhætti, þróunarstarf og sjálfræði skóla. Þetta væri einnig hægt að gera með því að setja inn gæðaviðmið í kennslu með dreifðri ábyrgð og skapandi námsumhverfi. Fjármögnun sem styður við dreifða faglega forystu í skólum er lykilatriði í að koma á gæðaviðmiðum í skólastarfinu. Geta skóla til að stuðla að jafnræði nemenda fer eftir samvinnu þeirra sem að skólastarfi koma. Það krefst þess að stefna skóla kveði á um virka aðkomu samfélagsins að því að skapa skóla fyrir alla þar sem virðing er borin fyrir fjölbreytileikanum og aðgangur að góðu stoðkerfi, stuðningsþjónustu, skólaþjónustu og heilbrigðisþjónustu er tryggður. Með félagslegri ábyrgð, þverfaglegu samstarfi og virkri þátttöku margra aðila skólasamfélagsins að breytingum ætti að vera auðveldara að móta sveigjanlegar reglur um stuðning við þá nemendur sem á þurfa að halda. Tryggja þarf fjármagn til öflugrar starfsþróunar kennara og annarra starfsmanna og til mótunar sértækra námsúrræða þegar það á við.

Samstarf og stuðningur við skólastjórnendur

Skólastjórnendur hafa þörf fyrir stuðning til að takast á við allar þessar áskoranir. Stuðningurinn þarf að vera bæði faglegur og persónulegur og tryggja þarf gott aðgengi þeirra að félagslegu og faglegu tengslaneti. Þar bera fræðsluyfirvöld sveitarfélaga ábyrgð en þau þurfa jafnframt að geta leitað eftir faglegum stuðningi, ráðgjöf og samstarfi við háskóla og fagfélög. Fræðsluyfirvöld sveitarfélaga þurfa að tileinka sér hugmyndafræði lærdómssamfélagsins enda vegur gott samstarf þeirra við skólastjórnendur þungt gagnvart því að láta skólaþjónustu og fjárveitingar til skólanna styðja við hugmyndafræðina um skóla fyrir alla. Þessir lykilaðilar skólasamfélagsins þurfa að rækta með sér menningu sem byggist á trausti, hreinskilni og samábyrgð. Í stað þess að vera með eftirlitskerfi er frekar lögð áhersla á faglegt samstarf, ígrundun, sameiginlega sýn og gæðamat sem byggir á gagnreyndum rannsóknaraðferðum. Með rannsóknum verði meðal annars fylgst með hvernig markmiðum skóla fyrir alla er náð. Í samstarfi fræðsluyfirvalda sveitarfélaga og skólastjórnenda skiptir áhersla á teymishugsun miklu og að skapaða aðstæður sem styðja við faglega forystu í skólum. Hvetja þarf til ígrundunar, faglegs skilnings og þróunarstarfs þar sem merkingabært nám nemenda er alltaf leiðarljósið. Bæði er leitast við að auka færni skóla og sveitarfélags til að bæta skólastarf og byggja upp sameiginlegan skilning á því hvað framsækið og árangursríkt skólastarf er. Þar er gæðamenntun aðgengileg öllum nemendum á öllum aldri. Einnig þeim sem standa höllum fæti, með sérþarfir eða eru fatlaðir. Einnig þeim sem búa við erfiðar félaglegar aðstæður, eru flóttamenn eða koma frá stríðshrjáðum löndum, burtséð frá kyni, kynþætti, þjóðerni eða trú.

Fjárveitingar til skóla sem taka mið af félagslegri stöðu skólahverfis

Eins og nefnt hefur verið er horft á fáar breytur þegar ákvörðun um fjármagn til einstakra skóla hefur verið tekin hér á landi, einkum er horft á aldur nemenda, nemendafjölda og greindar sérþarfir. Það er eftirtektarvert að skoða annars vegar nýlegar sænskar leiðbeiningar til sveitarfélaga frá Sveriges Kommuner og Landsting um fjárveitingar til skóla og hins vegar skýrslu frá Kanada sem lýsir vel hvernig fræðsluyfirvöld í Toronto standa að þessum málum. Athygli vekur að í báðum löndum hefur nýlega verið unnið að endurskoðun á úthlutunarreglum og horft er til fleiri þátta en gert er hér á landi. Litið er á fjárveitingar sem eitt af jöfnunartækjum samfélagsins og leitast er við að tryggja jafna möguleika barna til náms þar sem félagslegt umhverfi skólanna vegur þungt. Lögð er áhersla á að menntun veiti börnum sem jöfnust tækifæri til að ná árangri í námi og viðurkennt er að þar standa ekki allir jafnfætis. Börn láglaunafólks standa frammi fyrir ýmsum námshindrunum sem minnka líkur á að þau nái langt í námi, svo sem að fara í  háskóla. Fræðsluyfirvöld í Toronto tilgreina nokkrar breytur sem sérstaklega er horft til þegar fjárveitingar til skóla eru ákvarðaðar til að jafna aðstöðumun. Þær eru eftirfarandi:

  • Meðallaun íbúa í skólahverfinu
  • Hlutfall fjölskyldna með lágar tekjur
  • Hlutfall fjölskyldna sem njóta félagslegrar aðstoðar frá hinu opinbera
  • Hlufall íbúa á aldrinum 25-64 ára sem hafa einungis grunnskólapróf
  • Hlutfall íbúa í hverfinu (25-64 ára) sem eru með a.m.k. eitt háskólapróf
  • Hlutfall einstæðra foreldra í skólahverfinu

Þróun þessa kanadíska fjármögnunarmódels byggist á nokkurra ára rannsóknum sem sýna að ýmsir ytri þættir í félagslegu umhverfi nemenda , svo sem tekjur foreldra, menntunarstig og fjölskyldugerð, hafa mikil áhrif á námsframvindu nemenda í viðkomandi skóla. Það réttlætir að taka sérstakt tillit til slíkra þátta. Það kallar á auknar fjárveitingar til skóla í hverfi þar sem mörg börn búa við erfiðar félagslegar aðstæður. Samkvæmt þessu geta tveir jafnstórir skólar í sama sveitarfélagi verið að fá mismunandi fjárveitingar í skólareksturinn.

Árið 2014 sá Sveriges Kommuner og Landsting ástæðu til að veita sveitarfélögum leiðbeiningar við að úthluta fjármagni til skóla þar sem bent er á að taka þarf tillit til félagslegs umhverfis skólanna, horfa m.a. á fjárhags- og menntunarstöðu foreldra. Einnig á þætti er stuðla að meira jafnræði og aukinni hæfni kennara til að sinna fjölbreytilegum nemendahópi. Þessari áherslu er einnig ætlað að veita fleiri og helst öllum nemendum stuðning og námsörvun. Hins vegar kemur skýrt fram í sænsku skýrslunni að það er ekki til nein fullkomin leið til að deila út fjármagni til skóla en líkanið er þó traustur grunnur til að byggja á. Mikilvægt er að skólastjórnendur útskýri síðan vel hvernig þeir nýta þá fjármuni sem eru til ráðstöfunar til að þróa skólastarfið í takt við þarfir nemenda sem búa við mismunandi heimilisaðstæður. Þá er hvatt til samstarfs allra helstu aðila skólasamfélagsins, það er kennara, foreldra og skólastjórnenda, um það hvernig fjármunum skólans sé best varið nemendum til heilla sem er augljóslega í samræmi við hugmyndafræði lærdómssamfélagsins.

Hér á landi höfum við ekki gefið þessum þáttum mikinn gaum þó svo einstaka skólastjórnendur, sem starfa í skólum í félagslega þungum hverfum, hafi talað fyrir sveigjanlegri úthlutunarreglum. Berglind Rós Magnúsdóttir, dósent við Menntavísindasvið Háskóla Íslands, hefur þó fengið styrki úr NordForsk, Jafnréttissjóði Íslands og Rannsóknasjóði Háskóla Íslands til að varpa ljósi á ýmsar spurningar um aðgreiningu í íslensku grunn- og framhaldsskólakerfi út frá stétt (efnahags-, félags- og menningarauði) og uppruna, það er hvort menntakerfið virki sem félagsleg skilvinda og jafnvel ýki þá félagslegu flokkun sem er til staðar í samfélaginu.

Nýjar leiðir til að mæla námsárangur

Að framansögðu má vera ljóst að verkefnið er ekki einfalt en það er aðkallandi að huga að nýjum leiðum til að deila út fjármagni til skóla sem styrkir um leið menntun fyrir alla. Þróun skóla í þá átt að mæta betur margbreytilegum nemendahópi þarf meðal annars að ná til fjölbreyttari námsmats á árangri nemenda. Tryggja þarf réttlátt mat til lengri tíma litið með víðtækari mælingum á árangri umfram formleg próf. Slíkar mælingar taka til persónulegs, félagslegs og námslegs árangurs. Þróa þarf gildi í skólastarfi sem stuðla að jákvæðum samskiptum á milli allra aðila. Allt starfsfólk þarf að taka ábyrgð á árangri og vellíðan allra nemenda með sveigjanlegu námi og kennslu. Stefna á markvisst að árangri allra nemenda og veita einstaklingsmiðuð tækifæri til framfara. Hlusta þarf á raddir nemenda sjálfra og auka þátttöku og skuldbindingu þeirra. Mikilvægt er að námskrá sé sveigjanleg til að tryggja að hún gagnist öllum nemendum. Námskráin ætti að taka til fleiri þátta en fagnáms og innihalda víðtækari færni í undirbúningi undir líf, störf og einstaklingsþroska (t.d. sjálfseflingu, félagsfærni, sköpun, heilsu). Skólar ættu að skapa tækifæri fyrir nemendur til að velja sér námsefni og aðferðir og taka á mið af nýjum tækifærum til frekari menntunar, þjálfunar og atvinnu.

Styðja þarf skóla til að taka virkan þátt í rannsóknum til að efla kennsluaðferðir sem auðvelda öllum nemendum að taka framförum. Styrkja þarf samstarf við aðila utan skólans, m.a. háskóla, til að tryggja gott aðgengi að nýjum rannsóknargögnum. Einnig þarf að styðja við rannsóknarstarf í skólum og úthluta viðeigandi tíma fyrir starfendarannsóknir og faglegt samstarf. Þróa þarf „matslæsi“ meðal kennara og annarra hagsmunaaðila til að gera þeim kleift að nota matsupplýsingar með nemendum til að styðja við frekara nám. Einnig að vinna með samstarfsaðilum að því að deila niðurstöðum mats á framförum nemenda og viðhalda háum væntingum til allra.

Leggja þarf áherslu á samstarf við fjölskyldur og sérfræðiþjónustu, svo sem sérfræðinga frá heilsugæslu, félagsþjónustu og skólaþjónustu, til að bæta stuðning við alla nemendur, sérstaklega þá sem eru fatlaðir og þurfa marbreytilegan stuðning. Þá þurfa allir fagaðilar að leggja sig fram um að vinna lausnamiðað, deila þekkingu og reynslu til sem flestra. Það eykur á færni og skilning allra hagsmunaaðila skólasamfélagsins og ætti að koma í veg fyrir aðgreiningu nemenda.

Samkvæmt framansögðu er afar mikilvægt að öll umgjörð skólastarfsins auðveldi skólunum að vinna í þessum anda en þá má aldrei horfa þröngt á viðfangsefnið og miða fjárveitingar til skóla fyrst og fremst út frá nemendafjölda og greindum sérþörfum nemenda.

Árangursrík fjármögnunarstefna

Það er ánægjulegt að stýrihópur um menntun fyrir alla, sem mennta- og menningarmálaráðherra skipaði, er farinn að skoða mögulegar breytingar á fjármögnun skólakerfisins. Það kemur skýrt fram í skýrslunni, Menntun fyrir alla: Úttekt á framkvæmd stefnu um menntun án aðgreiningar, að tryggja þurfi að fjárveitingar til skóla tálmi ekki framförum á sviði menntunar án aðgreiningar. Edda Óskarsdóttir, aðjúnt á Menntavísindasviði Háskóla Íslands og starfsmaður Evrópumiðstöðvar, hefur bent á að árangursrík fjármögnunarstefna krefst stefnumótunar sem miðar að því að þróa árangursríka og hagkvæma stefnu um menntun fyrir alla sem dregur úr misrétti í námi og stuðlar að náms- og félagslegri þátttöku allra ævilangt.

Þetta byggist á þremur reglum um stefnumótun:

  • árangur, með áherslu á að auka hagkvæmni innan heildarkerfisins,
  • skilvirkni, með það fyrir augum að skoða árangur (afkomu) nemenda og annarra hagsmunaaðila í kerfinu,
  • jafnræði, með áherslu á að tryggja réttmæt tækifæri til menntunar þar sem borin er virðing fyrir fjölbreytileikanum og mismunun er útrýmt.

Margir þurfa að leggja hönd á plóg

Endurskoðun á fjármögunarmódeli kallar á breytingar á öllum gildandi reglum um fjárframlög sem fela í sér að fjárveitingar séu háðar greiningu á einstaklingsbundnum sérþörfum í námi. Endurskoðunin krefst einnig að gerð sé framkvæmdaáætlun sem hefur þann tilgang að auðvelda skólum að nota almennar fjárveitingar á sveigjanlegri hátt. Leggja þarf aukna áherslu á viðbótarúthlutun (throughput funding) sem fjölgar þeim leiðum sem skólar geta farið til að veita öllum nemendum aðstoð og að teknar verði upp sveigjanlegri reglur um stuðning sem geta stuðlað að aukinni hæfni starfsfólks í hverjum skóla og hverju sveitarfélagi fyrir sig.

Allir þeir sem að skólastarfi koma þurfa nú að leggja hönd á plóg og breyta heildarhugsun og framkvæmd fjárveitinga til skóla í anda menntunar fyrir alla.

Heimildir og krækjur er tengjast efni greinarinnar

European Agency for Special Needs and Inclusive Education. (2016).  Financing of Inclusive Education. Mapping Country Systems for Inclusive Education. Brussels: European Agency for Special Needs and Inclusive Education.

Mennta- og menningarmálaráðuneytið. (2017). Menntun fyrir alla á Íslandi. Úttekt á framkvæmd stefnu um menntun án aðgreiningar á Íslandi. Reykjavík: Höfundur.

Sigríður Margrét Sigurðardóttir (2018). Stuðningur við skólastjóra í námi og starfi. Netla – veftímarit um uppeldi og menntun. Sótt af http://netla.hi.is/greinar/2018/ryn/08.pdf

Sveriges kommuner och Landsting (2014) Socioekonomisk resusfördelning till skolor – Så kan kommunen göra. Sótt af https://webbutik.skl.se/bilder/artiklar/pdf/7585-115-0.pdf?issuusl=ignore

Toronto District School Board. (2917. The 2017 learning opportunities index: Questions and answers. Sótt af: https://www.tdsb.on.ca/Portals/research/docs/reports/LOI2017.pdf


Um höfunda

Anna Magnea Hreinsdóttir er sviðsstjóri fjölskyldusviðs Borgarbyggðar. Hún lauk námi í tómstundafræðum frá Göteborgs folkhögskola, Svíþjóð árið 1980, B.Ed.-gráðu í leikskólafræðum frá Kennaraháskóla Íslands árið 1999 og meistaraprófi frá sama skóla árið 2003. Árið 2009 lauk hún doktorsprófi í menntunarfræðum frá Menntavísindasviði Háskóla Íslands. Hún var leikskólafulltrúi Garðabæjar og vann sem leikskólastjóri í tugi ára. Hún hefur sérhæft sig í rannsóknum um raddir barna og ungmenna og mat á námi og starfi skóla.

Þorsteinn Hjartarson er fræðslustjóri hjá Sveitarfélaginu Árborg. Hann lauk íþróttakennaraprófi árið 1980 og lagði m.a. stund á mannfræði og heimspeki í Háskóla Ísland. Þorsteinn hefur kennsluréttindi í grunnskóla og framhaldsskóla, er með M.Ed.-próf í stjórnun menntastofnana frá Kennaraháskóla Íslands. Hann hefur margra ára reynslu sem kennari og skólastjóri grunnskóla og verið m.a. stundakennari og gestafyrirlesari í KHÍ og HÍ. Þorsteinn var fram­kvæmdastjóri Þjónustumiðstöðvar Breiðholts áður en hann tók við starfi fræðslustjóra í Árborg haustið 2011.

 




Stefna í menntamálum – horft til Kanada

Sævar Þór Helgason

 

Það er margt spennandi að gerast í menntamálum á Íslandi og mörg tækifæri. Til þess að leggja mat á þróunina og gera sér grein fyrir því hvaða tækifæri eru áhugaverðust er mikilvægt að velta því fyrir sér hvaða augum skynsamlegast er að líta menntun og í kjölfarið meta um hvað umræða um menntamál snúist eða eigi að snúast. Páll Skúlason, heimspekingur og lengi rektor Háskóla Íslands sagði eitt sinn um íslenska menntakerfið:

Menntakerfið íslenska er fyrst og fremst réttnefnt fræðslukerfi, sem merkir einfaldlega að menntunin, sem það veitir, er fólgin í tiltekinni kunnáttu. Í skólum eiga nemendur að læra. Þeir eiga að læra að lesa, skrifa og reikna og öll önnur fræðsla byggir á þessum grunni. Og það sem er óumdeilt – en er hins vegar umdeilanlegt … – er að öll fræðslan sé og eigi að vera menntandi, þ.e.a.s. eigi að stuðla að þroska nemenda, gera þá hæfari sem manneskjur til að heyja lífsbaráttuna og njóta lífsins. (Páll Skúlason, 1987, bls. 340)

Í ljósi þessarar gagnrýnu skoðunar Páls beini ég sjónum að þremur mikilvægum atriðum. Í fyrsta lagi renna nafngiftir kerfisins stoðum undir þessa skoðun; löngum hefur verið talað um fræðslukerfi, fræðslulög og almenningsfræðslu. Í öðru lagi rennir margt í skipulagi og áherslum menntunar, einkum í prófakerfinu með áherslu á einkunnir, mat eða mælingar, stoðum undir þetta sjónarmið. Í þriðja lagi má þá spyrja, að því marki sem dómur Páls stenst, hvort hann eigi í einhverjum mæli enn við. Menntakerfið okkar sé ennþá aðallega fræðslukerfi með áherslu á tiltekna þekkingu.  Frá árinu 1987 hafa hugmyndir manna um skólastarf eða menntakerfið kannski ekki breyst svo mikið, en þó hafa vissulega verið samþykkt ný lög um grunnskóla og þrisvar sinnum hafa verið gefnar út aðalnámskrár á þessum tíma. Það er engin spurning að sú síðasta boðar talsverðar áherslubreytingar hvað varðar inntak skólastarfs sem koma til móts við það sjónarmið sem Páll er í raun að kalla eftir, það er að skólastarfið verði raunverulega menntandi.

Það er mikilvægt að hugsa um menntun og framtíð. Saga barnafræðslu í skyldunámsskóla á Íslandi er ekki löng og þær breytingar sem  orðið hafa á samfélagsháttum síðastliðna áratugi eru miklar. Þekking einstaklinga í nútímanum er ekki endilega meiri en áðurfyrr, en hún er önnur og aðgengi að upplýsingum og margskonar þekkingu er langtum auðveldara en áður. Það er meðal annars áhugavert að velta fyrir sér hvernig eða jafnvel hvort margvísleg tækni sem er í boði nýtist í skólum. Örar breytingar bæði á inntaki og starfsháttum samfélags og atvinnu, ekki síst tengt tæknimálum, fléttast inn í alla kima lífs okkar og eru oftast langt á undan breytingum í menntakerfinu.

Þess vegna er tímabært og brýnt að samfélagið spyrji sig og rifji upp: „Hver eru markmið menntunar?“ Er menntastefna á Íslandi háð duttlungum stjórnmálamanna sem vilja reisa sér bautasteina til dæmis í formi aðalnámskrár? Eða mótast menntastefna okkar af hugmyndum sem byggja á ígrundaðri umræðu um markmið annars vegar og vitneskju um alls kyns hraðar breytingar hins vegar? Getur verið að þau vandamál sem starfsfólk í menntakerfinu stendur frammi fyrir, séu mörg tilkomin vegna lausna og hugmynda fyrri kynslóða, sem kunna að vera úreltar?

Fyrirmynd frá Alberta fylki í Kanada

Það er áhugavert að horfa til annarra þjóða og velta fyrir sér hvað  vel er gert í menntamálum. Ég geri hér eitt dæmi að sérstöku umfjöllunarefni. Í Alberta fylki í Kanada hafa kennarasamtök fylkisins tekið  frumkvæði með vinnubrögðum sem eru um margt til fyrirmyndar og opna ýmsar nýjar gáttir. Innlendir og erlendir fræðimenn, sérfræðingar í menntamálum voru kallaðir til og málin krufin og nýjar áherslur lagðar. Þau sjónarhorn og viðfangsefni sem kennarasamtökin hafa sett á oddinn, beindu athyglinni að samskiptum á milli fólks, margmenningu og þeim breytileika sem henni fylgir. Einnig var lögð áhersla á að byggja á fagmennsku þeirra sem vinna í kerfinu og að því lykilatriði að þróun menntunar og skólastarfs snúist um breytingar.

Þrír rauðir þræðir í stefnu þeirra eru jöfnuður, traust og stuðningur. Þegar kemur að nánari útfærslu hugmyndanna, með tilliti til breytinga á skólastarfi, horfa þeir til þriggja sviða sem þróunin innan skólans á að miða við. Það er nám nemenda, starf skóla og kennara og þriðji þátturinn eru þau atriði menntunar sem snúa að samfélaginu og þátttöku í því. Í þessum þriðja þætti eru tengslin við samfélagið með samráði við fjölda aðila og kynningum til þeirra sérstaklega mikilvæg.

Til þess að skýra hugmyndir sínar hafa samtökin sett þessi þrjú lykilsvið fram í töflu undir heitunum: nám, kennsla og samfélag. Síðan er þríþætt eðli þróunar undirstrikað;  það verði sífellt að gera eitthvað nýtt, en samt sem áður á vitaskuld að halda áfram mörgu af því sem gert er fyrir, og að nýjabrumið krefjist þess að eitthvað verði að leggja af. Það kann að vera erfiðast. Hverju sviðanna þriggja er því skipt í þrennt undir yfirskriftinni: Haldið áfram að … Byrjið að … og Hættið að… . Sem dæmi má nefna að lagt er til að haldið verði áfram að leggja áherslu á jafnræði sem hreyfiafl opinbera menntakerfisins og að treysta mati kennara og skólastjórnenda á námi nemenda.

Áhersla er lögð á að hætt verði að líta á nemendur sem viðföng skólakerfisins, en að frekar verði litið á þá sem samstarfsaðila. Að sama skapi séu kennarar hvattir til að þróa námskrár í gegnum faglega símenntun. Stutt verði við frekari þróun sérfræðiráða innan kennarasambandsins með það að markmiði að styðja við þróun námskrár og kennsluhátta. Það má ekki gera lítið úr faglegri dómgreind kennara með innleiðingu miðstýrðs mats og annarra átaksverkefna heldur  þarf að leggja áherslu á að byggja upp faglega ábyrgð meðal kennara. Tryggja á að þróunaráætlanir skóla séu kynntar í samfélaginu og hætta að viðhalda óvissu um meginstefnu innan menntamálaráðuneytisins. Í þessu felst framsýni, raunsæi og jafnframt gegnsæi. Það er ekkert farið í felur með að breytingar geta verið erfiðar og þeim fylgja oft átök. Þetta passar ágætlega við íslenskan veruleika, við þurfum eins og allir aðrir að velja og hafna.

Lögð er áhersla á að inntak náms og kennslu sé þvert á námskrá, þverfagleg. Þegar nemendur útskrifast  úr skóla  kunni þeir: Að læra, gagnrýna hugsun, að þekkja og leysa vandamál, meta upplýsingar, vinna að nýsköpun, að skapa sér tækifæri,  fjöllæsi (e. multimodal literacy), að tjá sig og vinna með öðrum, að skýra út menningarlegan mun á heimsvísu, að þekkja hæfileika sína og lífsleikni.

Jöfnuður þarf að vera drifkraftur þróunar og framkvæmdar menntastefnu svo að nemendur með mismunandi bakgrunn fái haldbæra góða menntun. Jöfnuður er meira en jöfn tækifæri eða aðgengi að lærdómi; það þarf að einstaklingsmiða fræðsluna til að búa öllum jöfn tækifæri til náms. Í fyrstu töflunni eru fjallað um nám nemenda.

Þegar ég rýni í alla þættina í starfinu sem kynntir voru, þá tel ég að mest spennandi sé að gaumgæfa hvað eigi að fá forgang í nýjum verkum, en jafnframt er ekki síður mikilvægt að skoða og ræða hvaða verklag, viðhorf eða viðfangsefni verði að leggja af. Stuðningur við kennara er mikilvægur, byggja þarf á framlögðum gögnum og taka þannig upplýstar ákvarðanir við breytingar.

Starf allra sem að skólunum koma á að meta reglulega. Fagleg þróun, vinna skóla að námskrám og eflingu kennsluhátta, mat á færni og félagsnet innan samfélagsins styðja við nám og eru meðal lykilforsendna fyrir þróun samfélagsins og skiptir því miklu máli að vanda til þeirra verka.

Í þessari menntastefnu Albertafylkis er megináherslan á nemandann og lærdómssamfélagið, minni áhersla á efnið. Kastljósið er á lærdóm og inntak. Breytt skuli frá stífum stundaskrám eða námsáætlunum og námskrám til meiri sveigjanleika. Lögð verði  áhersla á leiðsagnarmat, mögulegt sé að minnka prentað efni og fleiri form efnis verði notuð við námið. Einnig er lögð áhersla á fjölbreytt læsi, meðal annars stærðfræði og skilning sem grunn að þróun færni. Að sanngirni og áreiðanleiki verði í fyrsta sæti og menntamál drifin áfram af gildismati sem fólk er sammála um að séu grunnatriði. Til verði menntastefna sem ekki er kvikað frá.

Menntastefna á Íslandi

Núverandi menntastefna á Íslandi byggir á sex grunnþáttum menntunar: læsi, sjálfbærni, heilbrigði og velferð, lýðræði og mannréttindi, jafnrétti og sköpun sem  koma fram í aðalnámskrá grunnskóla eru að mínu mati mjög mikilvægir (Mennta- og menningarmálaráðuneyti, 2013, bls. 16). Ekkert er nýtt undir sólinni var einhvern tíma sagt. Andri Snær Magnason sagði í bók sinni Draumalandið (2006):

Hugmynd æðir yfir heiminn og sýkir menn sem leggja allt að veði. Þeir vita innst inni að ef þeir bíða fer hugmyndin annað. Eða enn verra: Líklega er hugmyndin á þeirri sömu stundu að angra einhvern annan. Hugmynd er harðstjóri, sá sem býr við ógnarstjórn hugmyndar opnar blöðin á hverjum morgni með  hnút í maganum og óttast að sjá að einhver annar hafi landað henni.

Hugmyndin að námskránni íslensku hefur ekki orðið til í einhverju tómarúmi og margt líkt var að gerast í námskrárþróun í heiminum þegar vinna við íslenska aðalnámskrá fór fram. Evrópusambandið gaf til að mynda út menntaáætlun með mikilvægum lykilþáttum árið 2006 þar sem meðal annars átti að huga að borgaravitund byggða á skilningi og virðingu fyrir mannréttindum og lýðræði, auk umburðalyndis og virðingar gagnvart öðru fólki og menningarheimum. Grunnþættir eða lykilfærniþætti menntunar í Svíþjóð voru kynnt 2010 (sjá m.a. Patrick Hernwall, 2010). Þar áttu lykilfærniþættir að snúast um: móðurmál, erlend tungumál, stærðfræði og efni henni tengt, tæknikunnáttu, sérstaklega að nýta internet,tölvur og tölvutengd tól. Einnig var lögð áhersla á námstækni, að vera upplýstur og meðvitaður um samfélag sitt og heiminn, lífsleikni, frumkvæði, samhygð, virðingu og samvinnu. Að auki gagnrýnin hugsun, menning og sköpun.

En með því að nota þessi yfirgripsmiklu og mikilvægu regnhlífarhugtök sem ná yfir flest sem snertir þroska einstaklings og þátttöku hans í mannlegu samfélagi getur málið orðið flókið í framkvæmd.

Framtíðin snýst að miklu leyti um aðgengi. Nám og kennsla verður margslungið félagslegt atferli þar sem  tjáning og samskipti skipa sífellt veigameiri sess. Við vitum ekki hvaða ný tæki eða tækni verður tiltæk í framtíðinni. Það er til dæmis líklegt að línuleg sjónvarpsdagskrá heyri sögunni til innan tíðar. Segja má að svipuð staða sé í menntamálum. Nám og kennsla breytist frá því að vera línuleg í það að verða bundin aðstæðum, en samt hvorki háð tíma né rúmi. Sjónvarpið var einstefnumiðill – og á vissan hátt verður það áfram, en kennsla verður áfram og í auknum mæli styðjandi og leiðsegjandi og jafnframt sveigjanlegri. Þar verður samvinna og samræða einnig fyrirferðamikil. Í kjölfar snjallsíma- og spjaldtölvuvæðingar sem  fór á flug strax  árið 2010 hefur orðið til ný hugmyndafræði í skólastarfi sem gerir ráð fyrir að allir hafi með sér sín eigin verkfæri, einkum tölvur. Á ensku kallast þetta, „Bring Your Own Device, BYOD“. En er skólinn þá að leiða til jöfnuðar? Hafa allir nemendur aðgang að tækjum? Það er ekki ljóst, og er jafnvel ólíklegt. Þá verður að horfast í augu við það. Það er mikilvægt að fólk vinni náið saman með skýra framtíðarsýn sem allir skilja á sama hátt og geri sér grein fyrir hvað í henni felst í raun. Það skiptir máli að fólk hafi væntingar; til hvers annars, til náms og menntunar nemenda. Hafi tækifæri til að ígrunda starf sitt og ræða starfið og starfshætti við samstarfsfólkið.

Ísland í dag

Í júní 2014 gaf Mennta- og menningarmálaráðuneyti út Hvítbók um umbætur í menntun. Þar er talsvert rætt um mikilvægi samráðs þeirra sem  láta sig menntun varða og jafnvel gengið svo langt að lýsa góðri reynslu af þess háttar samstarfi í öðrum löndum.

Erlendis hafa menn víða öðlast þekkingu og reynslu í umbótum á menntakerfinu. Farsælast þykir að setja fá en metnaðarfull markmið, sem viðtæk samstaða næst um og vinna má markvisst að til langframa. (Mennta- og menningarmálaráðuneyti, 2014, bls. 3)

Í Hvítbókinni segir jafnframt að hún eigi að skapa grundvöll til umræðu og aðgerða. Ætlunin sé að kalla alla til sem láta sig menntun varða til þess að leggja hönd á plóg. Þetta sjónarmið er að mínu mati til fyrirmyndar, ekki síst að kalla framkvæmdaraðila stefnunnar, kennarana, til virks samráðs um mótun hennar, þótt það virðist ekki hafa verið gert. Kennarasambandið bendir á þess brotalöm:

Fyrir ári gaf menntamálaráðherra út Hvítbók um umbætur um menntun með áherslu á læsi, námstíma og starfsmenntun og í kjölfarið voru stofnaðir verkefnahópar til að gera tillögur um aðgerðir á þessum þremur sviðum. KÍ óskaði eftir formlegri þátttöku í þeirri vinnu sem menntamálaráðherra varð ekki við (KÍ. Hvítbókarvinna 2015).

Þetta er mikið umhugsunarefni. Bæði OECD í sínum skýrslum og rannsóknir á starfi kennara og skóla er hamrað á miðlægu hlutverki kennara. Það er lykilatriði að treysta skólunum og kennurunum þar. Þeir eigi að framkvæma stefnuna og þeir þekkja best allra til hins daglega skólastarfs og  verði þess vegna að eiga hlutdeild í mótun hennar.

Eru margar leiðir að sama marki?

Einn þeirra sérfræðinga sem  kom að vinnu kennarasamtakanna í Alberta, Stephen Murgatroyd (2014), telur að í raun standi flest menntakerfi sem taka þátt í alþjóðlegri þróun menntunar frammi fyrir tveimur ólíkum menntastefnum; stefnum sem berjist um hylli þeirra sem ráða ferð.

Annars vegar er það sem kalla mætti á íslensku hnattræna umbótastefnuna, en á ensku hefur hún gengið undir heitinu, GERM (Global Education Reform Movement) á meðal gagnrýnenda hennar. Aðalsmerki hennar eru miklar væntingar og nám fyrir alla í gegnum internetið. Það felist í einstaklingsmiðuðu námi með grunnfögum, stöðlum, prófum og prófamiðuðu umhverfi og ábyrgð. Þar sem gerðar eru stöðugar breytingar og stefnan er byggð á  gagnasöfnun bæði um einstaklinga og skóla. Segja má að menntaumbætur sem flokkaðar eru undir þetta heiti, hafi komið fram á sjónarsviðið um 1980 og hafi náð fótfestu innan margra menntakerfa. Þær hafa  sennilega verið mest áberandi í Bandaríkjunum, á Englandi, í Ástralíu, en þó víðar. Það er ákveðin kaldhæðni í því að nota skammstöfunina, GERM eða „sýkill“, en í nafngiftinni felst hörð gagnrýni. Þær hugmyndir sem þarna eru spyrtar saman spegla saman hagsmuni alþjóðlegra stofnana og einkafyrirtækja og umbætur í menntamálum eða ákveðna stefnumótun í menntamálum. Að mati þeirra gagnrýnenda sem Murgatroyd talar fyrir er besta leiðin til að forðast „sýkilinn“ að undirbúa kennara og stjórnendur skólanna vel undir krefjandi starf. Á Íslandi og í Finnlandi verða allir kennarar að hafa meistaragráðu í kennslufræðum eða í þeim námsgreinum sem þeir kenna. Fleiri lönd, meðal annars hin Norðurlöndin fikra sig í þessa átt. Það tryggir að kennarar séu vel undir það búnir sem þeir gera í kennslustofunum og þeir skilji vel hvernig  hægt er að breyta námi og kennslu. Skólastjórnendur eru einnig sérfræðingar, þeir geta leitt breytingar í menntamálum og  verndað skóla og skólakerfið frá skaðlegum „sýklum“ (Sahlberg, 2012).

Stephen Murgatroyd kynnir hins vegar stefnu, sem hann talar fyrir, sem er byggð á jöfnuði. Jöfnuður  er drifkraftur menntakerfisins og honum fylgir breið námskrá þar sem lögð er áhersla á að rækta frumkvöðla og nýsköpun. Námsmat er öðruvísi en almennt tíðkast og er aðallega leiðbeinandi, en áhersla ekki lögð á dóm eða samanburð. Kennarinn og kennslan verða í brennidepli, frekar en fyrirmæli stjórnvalda og með því er kallað eftir trausti allra hlutaðeigandi aðila – skóla, heimila og samfélags. Í trausti felst gagnkvæmni og rík áhersla er lögð á faglega ábyrgð. Mikilvægt er talið að læra af fyrri athöfnum, þ.e. reynslunni og menntastefnan mótast þannig á grundvelli rannsókna.

Hvað á að gera? Hver eru næstu skref?

Þurfum við hér á landi að taka afstöðu og velja hvora leiðina við viljum fara? Það er að mínu mati óskynsamlegt að búa til tvo afdráttarlausa kosti. Menntamál eru alltof margslungin til þess að umræða um menntastefnu sé, eða geti verið svarthvít, þannig að maður sé annað hvort alfarið með eða á móti tilteknum hugmyndum eða útfærslum. Flestir eru á einu máli um mikilvægi menntakerfisins, en það er ekki jafn augljóst hvernig á að viðhalda því, hvað þá að endurnýja það.

Menning og viðhorf eru sterkir áhrifaþættir sem koma í ljós þegar við skoðum og ræðum verkefni skólanna og breytast ekki í einu vetfangi. Það þarf að leggja stöðuga vinnu í endurskoðun markmiðanna eins og felst í orðum Páls Skúlasonar hér að framan. Það þarf að skoða kerfið í heild og ræða af yfirvegun hvað er vel gert, hvað má gera betur og hverju við skulum draga úr eða hætta. Við eigum öll okkar sögu, persónulega og félagslega, reynslu og bakgrunn sem gerir okkur að þeim manneskjum sem  við erum. Starfsemi skólanna er í eðli sínu flókin og menntun á að efla mennsku okkar. Styrkja okkur sem einstaklinga og samfélagsborgara og búa undir fjölbragðaglímur framtíðarinnar. Það er óskandi að sameiginleg reynsla og bakgrunnur geti sameinað okkur í að taka næstu skref í átt að bættu menntakerfi. Ekki að þessari þrautargöngu ljúki nokkurn tíma. Vonandi mun  íslenskt menntakerfi og menntastefna stuðla að þroska nemenda, gera þá hæfari sem manneskjur til að heyja lífsbaráttuna og njóta lífsins í óræðri framtíð. Menntun er verkefni sem við fáumst við út lífið. Menntun þarf að byggja á trausti allra hlutaðeigandi, metnaðarfullri, framsækinni og ögrandi hugsjón með kennara og skólastjórnendur í framvarðarsveit umræðunnar um menntun og framtíð.

Heimildir

Andri Snær Magnason. (2006). Draumalandið. Sjálfshjálparbók handa hræddri þjóð. Reykjavík: Mál og menning.

ATA. The Alberta Teachers‘ Association. (2015). Renewing Alberta‘s promise: A great school for all. Sótt 5.10.15 af www.teachers.ab.ca

Evrópusambandið. (2006). Lög Evrópusambandsins. Key competences for lifelong learning. Sótt 4.12.15 af http://eur-lex.europa.eu/legal-content/EN/TXT/?uri=URISERV%3Ac11090

Kennarasamband Íslands.  Ýmislegt, hvítbókarvinna. Sótt 6.11.15 af http://ki.is/skolamal/ymislegt/hvitbokarvinna

Mennta- og menningarmálaráðuneyti. (2013). Aðalnámskrá grunnskóla: Almennur hluti 2011: Greinasvið 2013 /2013. Reykjavík: Höfundur.

Mennta- og menningarmálaráðuneyti. (2014). Hvítbók um umbætur í menntun. Reykjavík: Höfundur. Sótt 2.11.15 af http://www.menntamalaraduneyti.is/media/frettir/Hvitbik_Umbaetur_i_menntun.pdf

Páll Skúlason. (1987). Menntun og stjórnmál. Pælingar. Reykjavík: Ergo.

Patrick Hernwall. (2010). Mediatekniken i dag och barns forandrada vilkor.  Sótt 4.12.15 af http://www.slideshare.net/hernwall/nordsprk-20101030

Sahlberg, P. (2012). Global educational reform movement is here! Sótt 30.11.15 af  http://pasisahlberg.com/global-educational-reform-movement-is-here/

Murgatroyd, S. (2014, mars). Rethinking equity a great school for all (Myndband). Sótt af https://www.youtube.com/watch?v=0jgf-gU2EkQ


Sævar Þór Helgason er skólastjóri Grunnskólans í Hveragerði. Lauk B.Ed. frá KHÍ 2000 og meistaraprófi frá HÍ 2016. Varð skólastjóri Grunnskólans í Hveragerði haustið 2016. Greinin var skrifuð undir handleiðslu Jóns Torfa Jónassonar prófessors á námskeiði á Menntavísindasviði.

 




Notkun snjalltækja í stærðfræðikennslu

Brynjar Marinó Ólafsson

 

Notkun hjálpargagna í stærðfræði er ekki ný af nálinni. Fyrir utan það sem hægt er að kalla hefðbundin verkfæri stærðfræðinnar eins og til dæmis reglustiku og hringfara þá hafa menn lengi vel reynt að nýta og búa til fleiri verkfæri eða hjálpartól til aðstoðar við útreikninga. Dæmi um slíkt eru til dæmis talnagrind, logaritmatöflur og vasareiknir, en frumgerð hans má rekja allt aftur til 17. aldar þegar Pascal smíðaði reiknivél til að hjálpa föður sínum sem vann við skattheimtu í Frakklandi (Valentine, 2014). Allt nýttist þetta til að einfalda vinnu, en þegar grafískir vasareiknar og heimilistölvan komu á markaðinn gáfust tækifæri til að skoða stærðfræðileg viðfangsefni á nýjan hátt og nýta þessi tæki til að auka skilning með hætti sem ekki var hægt áður eða þurfti a.m.k. miklar forsendur til að geta gert.

Nýjasta þróunin er spjaldtölvur og snjallsímar. Ekki aðeins urðu þessi tæki nánast strax almenningseign um leið og þau komu á markað, heldur hefur framboð af forritum fyrir þau aukist hratt eða frá 500 snjallforritum árið 2008 þegar AppStore opnaði til 2,2 milljóna snjallforrita árið 2017 (App Store (iOS), 2017). Inni í þessum fjölda er verulegur fjöldi af stærðfræðiforritum sem mörg hafa notið vinsælda.

Kostum spjaldtölva og snjallsíma í skólastarfi hefur verið haldið á lofti í umræðunni og jafnvel heilu skólarnir og bæjarfélögin varið miklum fjármunum til að kaupa þessi tæki handa nemendum (Kópavogsbær, 2015). Þá er rétt að staldra við og skoða hvort ávinningurinn sé sá sem ætlast er til. Hér verður ekki reynt að fjalla um allt sem þessi tæki hafa upp á að bjóða heldur reynt að beina sjónum að notkun og notkunarmöguleikum þeirra við stærðfræðikennslu. Einkum ætla ég að fjalla um þrenns konar notkunarmöguleika, það er leikjanotkun, notkun stærðfræðiforrita og námsumsjónarkerfi.

Leikir og smáforrit

Upphaf tölvuleikjabyltingar má rekja til ársins 1972 þegar tölvuleikurinn Pong kom á markað og var það fyrsti tölvuleikurinn sem náði almennri útbreiðslu til almennings. Á næstu árum komu tölvuleikir á borð við Space Invaders, Asteroids og Pacman og má segja að með þeim hafi tölvuleikjabylting hafist (History of video games, 2017). Fljótlega fóru menn að velta fyrir sér hvort tölvuleikir væru gagnlegir eða skaðlegir. Til eru rannsóknir sem hafa sýnt að spilun sérhæfðra tölvuleikja getur t.d. bætt viðbragðstíma hjá eldra fólki, árangur á þekkingarprófi í eðlisfræði, færni í verkefnum á sviði skurðaðgerða, flughæfni og ýmsa aðra þætti sem reyna á athygli og vinnsluminni (Novak, 2015). Í grein Tingir og fleiri (2017) er fjallað um áhrif snjalltækja (farsíma og spjaldtölva) á árangur í stærðfræði, lestri og náttúrufræði. Um er að ræða samantekt á nokkrum rannsóknum um efnið og kemur meðal annars fram að sumar rannsóknir bendi til þess að stærðfræðitölvuleikir á yngsta stigi leiði til lítillega betri námsárangurs hjá börnum, meðan aðrar rannsóknir sýna að áhrif forrita í snjalltækjum hafa takmörkuð áhrif á námsárangur (Tingir o.fl., 2017). Samkvæmt samantekt Tingir og félaga  hefur notkun snjalltækja áhrif til góðs á námsárangur í lestri en ekki jafn mikil áhrif í stærðfræði. Þess má þó geta að af þeim fjórtán rannsóknum sem voru greindar fjölluðu aðeins þrjár um áhrif snjalltækja á námsárangur í stærðfræði; flestar rannsóknirnar fjölluðu um tengsl við náttúrufræðikennslu eða alls átta rannsóknir.

Umfjöllun um námsleiki og gildi leikja á þroska og námi hjá börnum er ekki ný af nálinni og hafa fræðimenn á borð við Dewey, Piaget og Vygotsky fjallað um gildi leiks í námi þó að umfjöllum þeirra hafi eðlilega ekki náð til tölvuleikja. Því er ekki óeðlilegt að framleiðendur forrita, tölvuleikja og smáforrita telji eftirsóknarvert að framleiða forrit og leiki ætlaða til náms þar sem kennarar og foreldrar hafa tekið slíku opnum örmum samhliða nýrri tækni.

Ég ákvað að skoða fyrst vinsæla stærðfræðileiki og smáforrit fyrir spjaldtölvur. Leiðin sem ég valdi var að nota leitarvélina Google og leita annars vegar eftir best math apps og hins vegar best classroom math apps. Við fyrri leitina ákvað ég að velja fyrsta valmöguleikann sem ekki hafði endinguna com í vefslóð sinni og reyndist það vera heimasíða edutopia.org og heitið á greininni þar var Using Math Apps to Increase Understanding (Burns, 2017). Við seinni leitina ákvað ég að velja fyrsta valkost og var það heimasíða með heitið Teacherswithapps.com og grein á þeirri síðu sem var Top Ten Classroom Math Apps (Patel, 2012). Í framhaldinu ákvað ég að skoða forritin sem vísað var á og reyndi að flokka þau í annars vegar forrit sem þjálfa skilning á viðfangsefninu og hins vegar forrit sem eru þjálfun í afmörkuðum þáttum (e. drills). Af þeim 10 forritum sem vísað var á hjá edutopia.org fannst mér átta þeirra innihalda eingöngu endurteknaræfingar á afmörkuðum þáttum en í tveimur forritum var reynt að fá notanda til að skoða til dæmis gildi tölustafs í tugasæti eða vinna með talnalínu án þess að keppast við tíma eða stigafjölda. Við sömu flokkun á forritum á heimasíðu teacherswithapps.com fannst mér sex forrit falla í þann flokk að vera endurteknar æfingar, í einu forriti var lagt upp úr skilningi umfram kapp en þrjú forrit komust í hvorugan flokkinn hjá mér. Eitt vegna þess að það fannst ekki í AppStore og ekki á heimasíðu framleiðanda og tvö forrit virtust aðeins vera samansafn af útskýringum en kröfðust einskis af notandanum annars en að horfa á skjáinn. Aðeins eitt forrit, Operation Math, kom fyrir á báðum listunum og féll það í æfingaflokkinn hjá mér. Séu þessi nítján, að því er virðist vinsælu, smáforrit skoðuð sem ein heild þá voru þrettán (68%) sem gengu út á að keppast við tíma eða stig með endurtekningum, þrjú (16%) reyndu meira á skilning og skoðun frekar en kapp og önnur þrjú féllu utan þessarar flokkunar eins og fram hefur komið. Forritin sem ekki beindust að  kappi voru Number Line, Number Frames og Oh no! Fractions.

Mynd 1. Skjáskot úr Operation Math

Aðrar rannsóknir sýna svipaðar niðurstöður og könnun mín sem lýst er hér að ofan. Í grein Cayton-Hodges og samstarfsfólks (2015) voru vinsæl stærðfræðiforrit skoðuð á svipaðan hátt. Alls voru skoðuð 80 smáforrit tengd stærðfræði og kom meðal annars í ljós að þó svo að mörg þessara forrita innihéldu einhvers konar stigagjöf þá var stigagjöfin oft tengd tímatöku. Fæst forritin náðu að tengja saman efnisflokka stærðfræðinnar og reyndu flest forritin á einföld svör við stærðfræðilegum staðreyndum en ekkert forrit krafðist útskýringa frá notanda eða fékk hann til að skoða hvers vegna eitthvað virkaði eða virkaði ekki. Loks kom í ljós að í flestum forritunum var stærðfræðin sem birtist notendum rétt eða a.m.k. ekki röng, en þó voru þar einnig smáforrit sem beinlínis ýttu undir rangan eða takmarkaðan skilning á stærðfræðinni. Til dæmis var í einu forritinu verið að kenna notanda að leysa jöfnu með því að fá hann til að deila báðum megin með x þegar leysa átti jöfnuna x•x = x/3 og þannig fá svarið x = 1/3 sem var eini svarmöguleikinn sem gaf rétt svar en með þessu er útilokuð lausnin x = 0 sem einnig er lausn á upprunalegu jöfnunni (Cayton-Hodges o.fl., 2015).

Þó að óformleg könnun mín og rannsókn Cayton-Hodges og félaga á stærðfræðitengdum smáforritum hafi leitt í ljós einsleitni þeirra þá er það ekki nóg til að skera úr um gæði eða gagnsemi forritanna og skoðaði ég því í framhaldinu aðrar rannsóknir sem gerðar hafa verið á notkun smáforrita. Í fyrstu er rétt að nefna nokkra kosti sem fylgja notkun smáforrita en stærðfræðismáforrit geta í einhverjum tilvikum haft áhrif á árangur í stærðfræði og þá sér í lagi minnkað bilið milli getuminni og getumeiri nemenda (Zhang o.fl., 2015). Sem mögulega ástæðu fyrir því nefna Zhang og félagar að í mörgum smáforritum fær nemandi tíða endurgjöf á það sem hann er að gera en aðrar rannsóknir hafa einmitt sýnt fram á að tíð endurgjöf geti haft mikil áhrif á námsárangur, jafnvel meiri áhrif en lengri skóladagur, bekkjarstærð eða laun kennara (Zhang o.fl., 2010) og þá sérstaklega á námsárangur nemenda sem eiga í erfiðleikum með stærðfræði (Brosvic o.fl., 2006). Annað sem Zhang nefnir sem mögulega ástæðu fyrir bættum árangri er að í mörgum smáforritum hefur nemandi möguleika á að vinna í efni á eigin hraða. Það virðist þó ekki eiga við um þau forrit þar sem notandi þarf að keppa við tímann til að fá stig eða komast á næsta borð.

Við val á smáforriti eða stærðfræðileik sem á að nýtast nemanda til að bæta námsárangur virðist vera nauðsynlegt að hafa í huga hvort nemandinn sé að fá reglulega endurgjöf á árangur sinn og eins hvort nemandinn fái að vinna í efninu á sínum hraða eða hvort hann er að keppa við tímann. Margir stærðfræðileikir, sérstaklega í þeim flokki sem reyna að mestu á endurteknar æfingar, eru byggðir upp þannig að nemandi er að keppa við tíma. Slíkt er í andstöðu við það sem Zhang nefnir sem jákvæðan áhrifavald smáforrita þegar kemur að bættum námsárangri. Fleiri hafa fjallað um hraða og endurtekningar í stærðfræðikennslu. Jo Boaler, prófessor við Stanford háskóla, segir það vera hættulega sýn á stærðfræði að halda að styrkleiki í stærðfræði felist í því að vera fljótur að reikna eða leysa verkefni (Parker, 2015).  Ef nemandi nær ekki að halda í við tímann í slíkum leikjum gæti það haft áhrif á sjálfsmynd hans (Adams, 2017) og hugsanlega leitt til neikvæðs viðhorfs til stærðfræðinnar. Því má segja að þó tölvuleikir geti verið til margs gagnlegir, séu þeir rétt hannaðir, þá er rétt að hafa í huga hvað ber að varast þegar velja skal leik fyrir nemanda til að draga úr neikvæðum áhrifum sem einnig geta fylgt. Ef leikurinn þjálfar lítið annað en minni leikmannsins án þess að krefjast þess að hann velti fyrir sér efninu eða tengslum við aðra þætti stærðfræðinnar eða ef hann brýtur niður trú nemandans á eigin getu vegna þess að hann er ekki nógu fljótur að reikna þá gæti verið betra heima setið en af stað farið. Kannski er þá við hæfi að velta fyrir sér með hvaða öðrum hætti hægt er að nýta upplýsingatækni við kennslu í stærðfræði.

Forrit sem ekki eru leikir

Fyrir utan leikjatengd forrit og smáforrit með alla sína kosti og galla þá eru til annars konar forrit sem hægt er að nota í tengslum við stærðfræðikennslu í þeim tilgangi að bæta námsárangur eða dýpka skilning nemenda. Töflureiknar á borð við Excel eru kannski það fyrsta sem kemur upp í hugann enda er það forrit víða notað og vel þekkt. Möguleikar á notkun töflureikna við stærðfræðikennslu eru margir og ólíkt tölvuleikjum hefur nemandi möguleika á að skoða og velta fyrir sér ýmsum breytingum án þess að vera að keppast við stig eða tíma. Hægt er að nota töflureikninn til að setja upp myndrit og skoða hvernig þau breytast þegar ákveðnum gildum er breytt. Með sama hætti má skoða hvernig ein breyting hefur áhrif á miðsækni, eða hvernig breyting á verði gefur nýjan krónutöluafslátt miðað við sömu prósentu og margt fleira. Þá má einnig færa rök fyrir því að í gegnum töflureikna sé hægt að kenna grundvallaratriði í forritun, til dæmis rökskilyrði með „ef … þá“ setningum.

Hæfni í forritun er oft nefnd sem mikilvægt veganesti á 21. öldinni. Árið 2014 bættu Finnar inn kafla í stærðfræðihluta námskrár hjá sér sem tengist þrautalausnum og kallast „tölvunarhugsun“ (e. computational thinking (CT)) (Niemelä og Helevirta, 2017).  Segja má að tölvunarhugsun sé það ferli að skilgreina vandamál og setja lausnarferlið þannig fram að bæði manneskja og tölva geti fylgt ferlinu. Forritun snýst einmitt að miklu leyti um að leysa vandamál með því að brjóta það niður í smærri vandamál. Höfundar nefna einnig að sumir vilji ganga svo langt að líta á forritun sem framlengingu af algebru og því nauðsynlegt að kenna þetta tvennt saman. Fyrir yngri nemendur eru til forritunarmál sem gera þeim kleift að læra undirstöðuatriði í forritun með mjög myndrænum hætti. Forrit á borð við Scratch hafa verið vinsæl upp á síðkastið en einnig má nefna vefsíður eins og code.org sem setja upp litlar þrautir fyrir nemendur sem þeir eiga að leysa með myndrænni forritun. Sumar þrautirnar tengjast stærðfræði beint, til dæmis þraut þar sem notandi á að hjálpa Elsu, úr teiknimyndinni Frozen, að skauta ákveðnar leiðir á svelli og þarf nemandi meðal annars að glíma við hornastærðir til að leysa verkefnið (Mynd 2).

Mynd 2. Skjáskot frá code.org.

Á efri stigum má svo fá nemendur til að nota önnur forritunarmál og nefna Niemelä og Helevirta (2017) til dæmis Python í því samhengi sem hentugt byrjendaforrit sem nemendur geta nýtt til að kynnast breytum og föllum, nokkru sem er mikið notað í algebru á unglinga- og framhaldsskólastigi.

Annar möguleiki á að nota upplýsingatækni og forrit til að hjálpa nemendum að dýpka þekkingu sína og skilning á stærðfræði er að nota forrit á borð við GeoGebru. Forritið er ókeypis, bæði aðgengilegt á netinu sem og sem forrit í spjaldtölvur og er sérhannað til að skoða ýmsa þætti stærðfræðinnar. Notkun GeoGebru forrita gengur ekki út á að keppast við tíma eða safna stigum heldur er forritið sérlega hentugt til að útbúa verkefni til að vega og meta, skoða ákveðin viðfangsefni eða ólíka þætti stærðfræðinnar hvort heldur sem er algebra eða rúmfræði. Hægt er að benda á að minnsta kosti þrjár ólíkar leiðir til að nota GeoGebru við stærðfræðikennslu.

  1. Kennari útbýr skrár með eins konar sýniverkefnum. Auðvelt er að setja verkefnin fram með rennistiku fyrir nemendur, þannig að þeir geti prófað og skoðað til dæmis hvernig breyting á hallatölu fyrir beina línu hefur áhrif á halla grafs og jöfnu línunnar (Mynd 3). Annars konar verkefni væri til dæmis að nota rennistiku til að fletja út þrívíð form til að sjá úr hvaða formum yfirborðið er gert og reikna í framhaldinu yfirborðsflatarmál þrívíða formsins. Í þeim tilvikum sem þessi leið er farin er æskilegt að kennari fylgi eftir rannsóknum nemenda með verkefni eða umræðum. Í fyrra verkefninu sem lýst er er til dæmis hægt að renna stikunni frá -4 til 4 og sýnir GeoGebra hvernig halli og jafna línunnar breytist við það. Í framhaldi má meta ályktunarhæfni nemanda og fá þá til að velta fyrir sér hvernig jafna beinnar línu líti út ef hallatalan væri til dæmis 5 eða 10, eða fá hann til að lýsa því hvað einkennir beina línu með hallatölu 0.

    Mynd 3: Skjáskot af verefni úr GeoGebru.
  2. Nemandi vinnur í GeoGebru eftir fyrirmælum eða notar forritið til að ná fram ákveðnum markmiðum, til dæmis að búa til þríhyrning og ferhyrning sem hafa sama flatarmál eða teiknar mynd sem speglast um færanlega línu til að skoða hvernig fjarlægð myndar frá speglunarlínu hefur áhrif á speglunina. Til að vinna þess konar verkefni þarf að undirbúa nemendur og leyfa þeim að kynnast forritunu áður en lagt er af stað í þyngri vinnu. Fyrir nemendur með litla reynslu af forritinu þyrfti að hafa ítarlegar leiðbeiningar til að nemendur finni ekki til vanmáttar vegna kunnáttuleysis og þrói þá með sér neikvætt viðhorf til stærðfræðinnar eða missi trú á sjálfan sig líkt og rætt var um að gæti gerst þegar nemandi ræður ekki við hraðaútreikninga í tölvuleik.
  3. Hægt er að þjálfa hugtakanotkun og kanna skilning nemenda á ákveðnu efni með því að láta nemendur tala inn á þögul myndbönd. Kennari útbýr þá eða nálgast stutt myndbönd sem eru gerð með aðstoð GeoGebru og sýna til dæmis snertil annars stigs grafs færast eftir punktum á fleygboga. Það er síðan lagt í hendur nemenda að tala inn á myndbandið og útskýra það sem þar er að gerast. Hugmyndin mun vera komin frá Freyju Hreinsdóttur, dósents við Háskóla Íslands, litháíska stærðfræðikennaranum Rokas Tamošiûnas og sænska prófessornum Thomas Lingefjärd. Bjarnheiður Kristinsdóttir, doktorsnemi við Menntavísindasvið HÍ, rannsakar nú þessa nálgun og telur hún að umræður ásamt svona vinnu geti stuðlað að því að nemendur skilji betur þau hugtök sem unnið er með og sjái þau frá öðru sjónarhorni (Háskóli Íslands, 2017).

Hér mætti eflaust tína til fleiri forrit og snjallforrit sem ýmist eru sérhönnuð til að kenna stærðfræði eða eru einhverra hluta vegna sérlega vel til þess fallin að hjálpa nemendum að skoða og skilja undraheima stærðfræðinnar. Ég læt hins vegar duga að nefna þau sem er fjallað um hér að ofan en ljóst er að það er hægt að nýta upplýsingatæknina til að skoða stærðfræði og læra hana með öðrum hætti en í gegnum tölvuleiki.

Námsumsjónarkerfi – námsmatskerfi

Í lok þessarar samantektar vil ég nefna námsumsjónarkerfi og mögulega notkun þeirra við stærðfræðikennslu. Hér á ég ekki við umsjónarkerfi eins og Blackboard eða Moodle heldur ætla ég að beina sjónum mínum að kerfum sem mætti kalla stafræn námsmatskerfi (e. digital formative assessment tools) eins og til dæmis Classkick, Costner og AMC Anywhere. Allt eru þetta umsjónarkerfi sem gera kennara kleift að fylgjast með hvað nemandi er að gera auk þess sem kerfin gefa kennara til kynna hvort nemandi þurfi aðstoð eða hvort hann sé að vinna villulaust í námsefninu. Ýmist eru kerfin þannig að viðvörunarmerki koma upp hjá kennaranum ef nemandi er aðgerðarlaus eða að svara rangt en einnig er möguleiki fyrir nemanda að gefa kennaranum merki um að hann þurfi aðstoð (Mynd 4). Með þessu fær kennarinn góða yfirsýn og getur annað hvort farið til nemenda sem stranda eða tekið umræðu með bekknum ef margir eru að stranda í sama efni eða ef margir eru að „rétta upp hönd“ í tímanum.

Í einni rannsókn var fylgst með kennurum nota forritið AMC Anywhere til að meta stöðu og framvindu nemenda í stærðfræði. Niðurstöður gáfu til kynna ánægju kennara með forritið og sögðu þeir að það gæfi góða yfirsýn um hvar skórinn kreppir hjá nemendum og eins hjálpaði það þeim við að mynda litla námshópa með hliðsjón því hvaða nemendur þyrftu mestu aðstoð. Rétt er samt að taka fram að kennarar nefndu einnig að notkun slíkra forrita og úrvinnsla væri tímafrek fyrir kennara við undirbúining kennslu (Martin o.fl., 2016).

Mynd 4. Skjáskot úr Classkick

Rannsóknir hafa sýnt að leiðsagnarmat (e. formative assessment) getur haft mikil og jákvæð áhrif á nám allt frá yngsta stigi upp á háskólastig (Black og William, 1998). Sama kom fram í kaflanum um leiki og smáforrit, það er að tíð endurgjöf getur haft mikil áhrif á námsárangur en þó einkum og sér í lagi ef nemandinn nýtir sér hana til að bæta árangur sinn. Námsmatskerfi sem gera kennara kleift að fylgjast með, greina og síðast en ekki síst að bregðast við þegar nemandi lendir í vandræðum verður þá að teljast vænlegur kostur þegar kemur að því að nýta upplýsingatækni í kennslu. Í Classkick forritinu geta nemendur til dæmis tengst kennarasvæði þar sem kennari getur sett inn verkefni fyrir nemendur að leysa. Kennarinn getur svo fylgst með vinnu nemenda og ef þörf er á þá getur kennarinn tengst tölvu nemandans og skrifað þar inn leiðbeiningar eða aðstoðað hann við að komast yfir þröskuldinn. Þessi möguleiki býður upp á þægilega leið til leiðsagnarmats auk þess sem hægt er að gera námið einstaklingsmiðaðra en ella þar sem kennari getur útdeilt nýjum verkefnum rafrænt til nemenda eftir því hvernig honum er að ganga.

Lokaorð

Spjaldtölvur og snjallsímar eru  mikið í umræðunni nú á tímum. Fyrstu tölvuleikirnir sem komu á markað um miðja síðustu öld voru hugsaðir til afþreyingar en í dag er mikil gróska í tölvuleikjum sem eru markaðssettir sem námsleikir.

Rannsóknir hafa sýnt að tölvuleikir geta verið til margs gagnlegir en við val á stærðfræðileikjum þarf að varast að þeir séu of einhæfir eða að kappið sé svo mikið að það sé á kostnað lærdómsins sem leikurinn á að skila. Margir vinsælir stærðfræðileikir leggja áherslu á hraða og endurtekningu en æskilegra er að nemandi fái að vinna á sínum hraða og að hann fái tíða endurgjöf á árangur sinn. Flestir leikir virkja notendur ekki til merkingarbærrar stærðfræðiiðju.

Einnig er hægt að rannsaka stærðfræði með aðstoð töflureikna eins og Excel eða forrita á borð við GeoGebru. Bæði þessi forrit bjóða upp á margar mismunandi leiðir til að nálgast viðfangsefnið þó svo að Excel sé almennur hugbúnaður en GeoGebra sérhannað til merkingarbærs stærðfræðináms.

Þá njóta námsumsjónarkerfi eða stafræn námsmatskerfi vaxandi vinsælda. Þau bjóða kennurum bæði upp á að safna gögnum um framvindu nemenda í náminu og eins eru sum forritin með þann möguleika að kennari geti gripið inn í vinnu nemenda með því að tengjast tölvu hans. Þannig er bæði hægt að gera námið einstaklingsmiðaðra og eins verður leiðsagnarmat ráðandi í námsferlinu.

Upplýsingatækni og snjalltæki bjóða upp á marga möguleika í stærðfræðikennslu og námi. Allar líkur eru á því að tækninni muni áfram fleygja fram og nauðsynlegt að kennarar og menntayfirvöld taki þátt í að fylgja þeirri þróun, en við innleiðinguna á nýrri tækni hlýtur aðalspurningin alltaf að vera: „Hvaða gagn er að henni fyrir nemendur?“ eða „Hvernig stuðlar nýja tæknin að betra námi?“

Heimildaskrá

Adams, C. (2017, 22. september). The disadvantages of using games as a learning tool. Sótt af https://itstillworks.com/12328164/the-disadvantages-of-using-games-as-a-learning-tool

App Store (iOS). (2017, 14. desember). Wikipedia. Sótt 15. desember af https://en.wikipedia.org/wiki/App_Store_(iOS)

Black, P. og William, D. (1998). Inside the black box: Raising standards through classroom assessment. PHI DELTA KAPPAN. Sótt af http://michiganassessmentconsortium.org/sites/default/files/MAC-Resources-BlackBox.pdf

Brosvic, G. M., Dihoff, R. E., Epstein, M. L., og Cook, M. L. (2006). Feedback facilitates the acquisition and retention of numerical fact series by elementary school students with mathematics learning disabilities. Psychological Record, 56(1), 35. Sótt af https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF03395536.pdf

Burns, M. (2017, 18. apríl). Using math apps to increase understanding. Sótt af https://www.edutopia.org/blog/10-apps-for-math-fluency-monica-burns

Cayton-Hodges, G. A., Feng, G. og Xingyu, P. (2015). Tablet-based math assessment: What can we learn from math apps? Journal of Educational Technology & Society, 18(2), 3‒20. Sótt af http://web.b.ebscohost.com/ehost/detail/detail?vid=0&sid=fededd82-58bd-471d-8a6b-c3d0afa0319f%40sessionmgr102&bdata=JnNpdGU9ZWhvc3QtbGl2ZQ%3d%3d#AN=102557856&db=aph

Háskóli Íslands. (2017, 7. desember). Hljóðlaus myndbönd henta vel í stærðfræðikennslu. Sótt af https://www.hi.is/frettir/hljodlaus_myndbond_henta_vel_i_staerdfraedikennslu

History of video games (2017, 25. nóvember). Wikipedia. Sótt 4. desember 2017 af https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_video_games

Khalil, M., Sultana, N. og Khalil, U. (2017), Exploration of Mathematical Thinking and its Development through Geogebra. Journal of Educational Research, 20(1), 83‒99. Sótt af https://search.proquest.com/docview/1924243515/fulltextPDF/D68B0D0CA0554ACCPQ/4?accountid=27513

Kópavogsbær. (2015, 11. júní). Spjaldtölvur afhentar í Kópavogi. Sótt af https://www.kopavogur.is/is/frettir-tilkynningar/spjaldtolvur-afhentar-i-kopavogi

Martin, C. S., Polly, D., Wang, C., Lambert, R. og Pugalee, D. K. (2016). Perspective and practices of elementary teachers using an internet-based formative assessment tool: The case of assessing mathematics concepts. The International Journal for Technology in Mathematics Education, 23(1), 3‒11.  Sótt af https://search.proquest.com/docview/1802217154/fulltextPDF/36EDE157BD914D84PQ/3?accountid=27513

Niemelä, P.S. og Helevirta, M. (2017). K-12 Curriculum Research: The Chicken and the Egg of Math-aided ICT Teaching. International Journal of Modern Education and Computer Science, 1, 1‒14. Sótt af https://search.proquest.com/docview/1886772489/fulltextPDF/A6018993DE2C42F1PQ/2?accountid=27513

Novak, E. og Tassell, J. (2015). Using video game play to improve education-majors’ mathematical performance: An experimental study. Computers in Human Behavior, 53, 124‒130.  Sótt af  https://ac.els-cdn.com/S0747563215300121/1-s2.0-S0747563215300121-main.pdf?_tid=768d42a6-d8d8-11e7-89ab-00000aacb35f&acdnat=1512381168_2cb87826ae30e7ac082377c772598fe8

Parker, Cl. B. (2015, 29. janúar). Learn math without fear, Stanford expert says. Sótt af https://news.stanford.edu/2015/01/29/math-learning-boaler-012915/

Patel, G. (2012, 24. apríl). Top ten classroom math apps. Sótt af https://www.teacherswithapps.com/top-ten-classroom-math-apps-2/

Tingir, S., Cavalazoglu, B., Caliskan, O., Koklu, O. og Intepe-Tingir, S. (2017). Effects of mobile devices on K–12 students’ achievement: a meta-analysis. Journal of Computer Assisted Learning, 33, 355‒369. Sótt af http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/jcal.12184/epdf

Valentine, N. (2014, 24. mars). The history of the calculator. Sótt af http://www.thecalculatorsite.com/articles/units/history-of-the-calculator.php?page=2

Zhang, M., Trussell, R. P., Gallegos, B. og Asam, R. R. (2015). Using math apps for improving student learning: an exploratory study in an inclusive fourth grade classroom. TechTrends, 59(2), 32‒39. Sótt af https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2Fs11528-015-0837-y.pdf


Brynjar Marinó Ólafsson er grunnskólakennari í Reykjavík þar sem hann kennir m.a. stærðfræði á unglingastigi.